Vettori linearmente dipendenti e indipendenti

Nella teoria dei vettori è importante studiare anche il concetto di vettori linearmente dipendenti e indipendenti, questo ci aiuterà a capire bene la rappresentazione cartesiana di un vettore.

Partiamo da n vettori V₁, V₂ , …. V_ne n numeri reali a₁ , a₂, …. a_n . Il vettore W

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{W}}=a_1\overrightarrow{\mathbf{V}}_1+a_2\overrightarrow{\mathbf{V}}_2+\cdots+a_n\overrightarrow{\mathbf{V}}_n}}$

E’ una combinazione lineare degli n vettori. Se risulta:

$\displaystyle{\mathbf{a_1\overrightarrow{\mathbf{V}}_1+a_2\overrightarrow{\mathbf{V}}_2+\cdots+a_n\overrightarrow{\mathbf{V}}_n=0}}$

con a₁ , a₂, …. a_nnon tutti nulli, allora gli n vettori sono linearmente dipendenti.

Se la relazione è invece verificata solo per a₁ = a₂= …. = a_n= 0 gli n vettori sono linearmente indipendenti.

Se i vettori sono linearmente dipendenti e se, ad esempio a_n≠ 0 , allora possiamo dividere tutto per a_ne scrivere V_ncome combinazione lineare degli altri n-1 vettori

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{V}}_n=-\,\frac{a_1}{a_n}\, \overrightarrow{\mathbf{V}}_1+-\,\frac{a_2}{a_n}\, \overrightarrow{\mathbf{V}}_2+\cdots- \frac{a_n}{a_{n-1}}\, \overrightarrow{\mathbf{V}}_{n-1}}}$

Quelli che ci interessano particolarmente sono i casi con n = 2 e n = 3.

Se due vettori V₁ e V₂sono linearmente dipendenti possiamo scrivere:

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{V}}_1=a\overrightarrow{\mathbf{V}}_2}}$

Per quanto visto la lezione passata questo vuol dire che i due vettori sono paralleli.

→ Condizione necessaria e sufficiente affinchè due vettori siano linearmente dipendenti è che siano paralleli

Possiamo dire, in maniera ovvia, che il massimo numero di vettori linearmente indipendenti su una retta è uno.

Consideriamo ora tre vettori V₁ , V₂e V3 e supponiamoli linearmente dipendenti

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{V}}_3=a\overrightarrow{\mathbf{V}}_1+b\overrightarrow{\mathbf{V}}_2}}$

Questa relazione esprime anche che V3 è la somma di aV₁e b V₂

aV₁e b V₂individuano un piano. V3 , essendo la loro somma, appartiene anche esso al piano.

Appartenendo ad uno stesso piano i re vettori sono complanari.

→ Se tre vettori sono complanari uno di essi si può esprimere come combinazione lineare degli altri due

→ Affinchè tre vettori siano linearmente dipendenti devono essere complanari

E’ allora ovvio che il massimo numero di vettori indipendenti in un piano è due.

Passando al caso dello spazio è facile capire che:

Il massimo numero di vettori indipendenti nello spazio è tre

⇒ Quattro vettori sono sempre linearmente dipendenti

Rappresentazione cartesiana

Preso un riferimento cartesiano nel piano OXY chiamiamo versori fondamentali degli assi i vettori i , j . Essi hanno:

modulo unitario

direzione e verso coincidenti con quelli degli assi x e y, rispettivamente

L’origine O e i versori individuano il piano cartesiano.

Consideriamo il vettore V (disegno sopra) il cui rappresentante è OP . Il vettore e i due versori sono linearmente dipendenti (siamo nel piano dove il numero massimo di vettori indipendenti è due). Possiamo allora esprimere V come combinazione lineare di i , j . Dobbiamo però determinare i coefficienti della combinazione lineare.

Indichiamo con Px e Py i punti in cui le rette per P e parallele agli assi incontrano gli assi x e y. Possiamo scrivere:

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{V}}=\overrightarrow{\mathbf{OP}}=\overrightarrow{\mathbf{OP}}_x+\overrightarrow{\mathbf{P_xP}}=\overrightarrow{\mathbf{OP}}_x+\overrightarrow{\mathbf{OP}}_y}}$

Abbiamo semplicemente fatto una somma vettoriale. Indichiamo con V_x e V_y le coordinate di P

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{OP}}_x=V_x\hat{i}\qquad\qquad \overrightarrow{\mathbf{OP}}_y=V_y\hat{j}}}$

V_xci da il modulo del vettore OP_x mentre i la direzione e il verso.

V_y ci da il modulo del vettore OP_y mentre j la direzione e il verso.

Con queste posizioni il vettore V può essere scritto come:

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{V}}=V_x\hat{i}+V_y\hat{j}}}$

Se stiamo operando nello spazio dovremo aggiungere il versore k

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{V}}=V_x\hat{i}+V_y\hat{j}+V_z\hat{k}}}$

V_x, V_ye V_zsono le coordinate del vettore V dette anche componenti di V.

Prendiamo ora due vettori del piano ed esprimiamoli tramite le componenti

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{V}}_1=V_{1x}\hat{i}+V_{1y}\hat{j}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{V}}_2=V_{2x}\hat{i}+V_{2y}\hat{j}}}$

Sommiamo membro a membro le due relazioni

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{V}}_1+\overrightarrow{\mathbf{V}}_2=(V_{1x}+V_{2x})\hat{i}+(V_{1y}+V_{2y})\hat{j}}}$

→ Le coordinate della somma di due o più vettori sono date dalla somma delle coordinate omonime.

Nella prossima lezione vedremo il prodotto scalare, vettoriale e misto.

Prossima lezione Prodotto tra vettori