Campo elettrico

Il concetto di campo elettrico è fondamentale in elettrostatica e va capito appieno. Non è però un argomento molto semplice, quindi saremo puntigliosi, ripetitivi ed esaustivi, ma cercando di esprimerci in maniera comprensibile. Cominciamo.

Abbiamo detto elettrostatica, significa che le cariche sono ferme.

Consideriamo una carica Q (quella che genera il campo elettrico) e una carica q di prova (quella che usiamo per testare il campo) tutte e due positive e poniamole a distanza r

r è il vettore che collega il punto dove è posta la sorgente a quello dove è posta la carica di prova.

Se entrambe le cariche sono positive, nel punto occupato da q si genera una forza verso l’esterno, q viene respinta.

Il modulo di questa forza è

$\displaystyle{\mathbf{F_e=K_o\,\frac{Qq}{r^2}}}$

Il vettore forza è

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{F}}_e=K_o\,\frac{Qq}{r^2}\,\frac{\overrightarrow{\mathbf{r}}}{r}=K_o\,\frac{Qq}{r^2}\,\hat{\mathbf{r}}}}$

Questo lo abbiamo ampiamente spiegato nella lezione sulla legge di Coulomb.

Quella che ci interessa è l’espressione vettoriale nella quale sono presenti quantità che dipendono dalla sorgente Q e dalla geometria più una parte che dipende dalla carica di prova. Dividiamo le due parti

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{F}}_e=\Bigl (\frac{K_oQq}{r^2}\, \hat{r}\Bigr )\,\Bigl (q\Bigr )}}$

La prima parentesi è quella legata alla sorgente e alla geometria. Questa parte la chiamiamo campo elettrico E

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{E}}=K_o\,\frac{Q}{r^2}\,\hat{r}}}$

Quindi

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{E}}=\frac{\overrightarrow{\mathbf{F}}}{q}}}$

Il campo elettrico è un vettore che dipende solo dalla sorgente Q e dalla distanza da Q.

La carica di prova q è quella che usiamo per testare il campo, essa deve essere molto piccola altrimenti può perturbare il campo. La definizione di E dovrebbere essere

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{E}}=\lim_{q\to 0}\frac{\overrightarrow{\mathbf{F}}}{q}}}$

Facendo q sempre più piccola, la forza elettrica si riduce, ma il campo elettrico E non cambia. Al limite, eliminando la carica di prova q, la F_e sparisce, mentre E, che prescinde da q rimane tale e quale. Il campo elettrico c’è, esiste e persiste sia che è presente o meno q nel punto in considerazione. Se in quel punto mettiamo la carica q, allora nasce anche la forza elettrica F_e.

E c’è anche senza F_e.

Prima di andare avanti ricapitoliamo e approfondiamo un pò.

Abbiamo considerato una carica puntiforme. Cosa è una carica puntiforme ? E’ come il concetto di punto materiale, ossia consideriamo l’intera carica posta in un singolo punto privo di dimensioni fisiche. Per le cariche elettriche è un’approssimazione accettabile, abbiamo visto che esse sono molto piccole.

Appena poniamo una carica q di prova vicino alla carica sorgente Q , subito nasce una forza. Se le due cariche hanno lo stesso segno, essa risulta repulsiva. Per il terzo principio della dinamica c’è anche la forza che q provoca su Q, però, dato che stiamo considerando casi di elettrostatica, la carica sorgente non si sposta. Consideratela inchiodata nel punto P dove l’abbiamo posta.

Poi abbiamo introdotto il vettore campo elettrico come un vettore che ha la direzione di r , ma il verso ? Se le cariche Q e q hanno segno concorde F_e e E hanno lo stesso verso, se hanno segno discorde, il verso è opposto.

Questa è la situazione. In un punto P dello spazio la carica sorgente Q crea un campo elettrico che si esplica con una forza quando mettiamo in esso una carica q di prova. E e F hanno la stessa direzione, quella di r, il verso dipende dal segno delle cariche.

Ovviamente anche q provoca un campo elettrico, quindi deve essere molto piccola per non perturbare quello esistente. Abbiamo allora definito il vettore E come

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{E}}=\lim_{q\to 0}\frac{\overrightarrow{\mathbf{F}}}{q}}}$

Ha senso q → 0 ? Una carica non può essere zero, al limite avrà quella di un quark, ma di meno no. Quel limite più che altro è un’operazione matematica. Comunque sia, quella carica esploratrice deve essere la più piccola possibile.

Più q diminuisce e più F_e diventa piccola, essa è proporzionale al prodotto Q q. Invece E NO !

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{E}}=K_o\,\frac{Q}{r^2}\,\hat{r}}}$

Nella relazione che esprime E, q carica di prova, non c’è. E non varia.

Il campo elettrico non varia anche se eliminiamo la carica q, in tal caso la forza elettrica sparisce, ma E rimane tale e quale.

Il campo elettrico E è una grandezza legata solo alla sorgente Q e alla distanza da essa.

Q crea un campo elettrico che diventa forza quando poniamo una carica q nel suo campo.

Ora possiamo andare avanti.

Vogliamo analizzare il campo elettrico di una carica Q positiva posta in un punto P(x₀,y₀,z₀)

A distanza r da essa consideriamo il punto P(x,y,z) nel quale non c’è niente, non c’è nessuna carica.

Vogliamo scrivere E in funzione delle coordinate dei punti

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{E}}=K_oQ\,\frac{\overrightarrow{\mathbf{r}}}{r^3}}}$

Dobbiamo esprimere r vettore e r modulo tramite le coordinate. Per il vettore r usiamo i versori degli assi

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{r}}=(x-x_o)\hat{i}+(y-y_o)\hat{j}+(z-z_o)\hat{k}}}$

Per il modulo esprimiamo la distanza tra due punti nello spazio

$\displaystyle{\mathbf{r=\sqrt{(x-x_o)^2+(y-y_o)^2+(z-z_o)^2}}}$

Queste le sostituiamo nell’espressione del vettore E

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{E}}=K_oQ\frac{(x-x_o)\hat{i}+(y-y_o)\hat{j}+(z-z_o)\hat{k}}{[(x-x_o)^2+(y-y_o)^2+(z-z_o)^2]^{\frac{3}{2}}}}}$

L’esponente 3/2 a denominatore è la radice di r³

Dato che E è un vettore, lo possiamo scomporre lungo gli assi x,y,z. La direzione secondo gli assi è data dai versori, quindi la componente secondo x la troviamo considerando ciò che moltiplica il versore i, quella lungo y ciò che moltiplica j e quella lungo z cio che moltiplica z.

$\displaystyle{\mathbf{E_x=K_oQ\,\frac{x-x_0}{[(x-x_o)^2+(y-y_o)^2+(z-z_o)^2]^{\frac{3}{2}}}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{E_y=K_oQ\,\frac{y-y_0}{[(x-x_o)^2+(y-y_o)^2+(z-z_o)^2]^{\frac{3}{2}}}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{E_z=K_oQ\,\frac{z-z_0}{[(x-x_o)^2+(y-y_o)^2+(z-z_o)^2]^{\frac{3}{2}}}}}$

Nella prossima lezione vedremo le linee di forza del campo elettrico e come si costruiscono.

Prossima lezione Linee di forza del campo elettrico