Potenziale di un doppio strato piano

Affrontiamo il calcolo del potenziale di un doppio strato piano.

Questa volta i piani sono due, di cui uno è carico con densità di carica +σ e l’altro -σ, affacciati a distanza d uno dall’altro.

Per questo studio dobbiamo prendere in considerazione tre zone, due esterne ai piani, zona 1 e zona 3, una interna, zona 2.

Sappiamo già tutto per quanto riguarda il campo elettrico nelle tre zone, se non lo sai vedi Campo elettrico di uno strato piano e doppio strato.

Nelle zone 1 e 3 il campo elettrico è nullo, nella zona due è uniforme e pari a

$\displaystyle{\mathbf{E=\frac{\sigma}{\epsilon_o}}}$

Il campo elettrico risulta doppio rispetto a quello di un singolo strato piano perchè c’è un rafforzamento delle sue linee di forza tra i due piani.

Per calcolare il potenziale del doppio strato piano dobbiamo farlo in tutte e tre le zone. Iniziamo dalla zona interna.

Zona 2

Operiamo come al solito, scegliamo il punto P (interno) dove andare a calcolare il potenziale, scegliamo il riferimento, ossia dove assumiamo V = 0, infine creiamo un percorso dal punto P al punto P_rif (di riferimento).

Conviene assumere il riferimento sulla lastra negativa e prendere un percorso radiale, in modo da semplificare i calcoli. Abbiamo disegnato anche l’asse x ponendo lo zero (x = 0) sulla lastra positiva. In tal modo il punto P ha ascissa x e il punto P_rif ha ascissa d.

$\displaystyle{\mathbf{V(x)-V(d)=\int_x^d E\, dx}}$

V(d) = 0 è il nostro riferimento

$\displaystyle{\mathbf{V(x)=\int_x^d E\, dx}}$

Il campo elettrico E lo possiamo portare fuori dall’integrale, visto che è costante

$\displaystyle{\mathbf{V(x)=E\int_x^d \, dx=E(d-x)}}$

Sostituiamo a E la sua espressione

$\displaystyle{\mathbf{V(x)=\frac{\sigma}{\epsilon_o}(d-x)}}$

Questo è il potenziale in un qualunque punto P interno alle due piastre. Il suo andamento è quello di una retta con pendenza negativa (c’è -x).

Andamento del potenziale. Esso si annulla per x = d.

Passiamo alla zona 1

Che dobbiamo fare ? Scegliere il punto P dove calcolare il potenziale, scegliere il riferimento e un cammino.

Attenzione, questa volta non ci conviene arrivare fino al punto di riferimento, è più agevole calcolare la differenza di potenziale tra il punto P e un punto P’ dove ci è noto il potenziale.

⇒ Per il calcolo del potenziale in un punto, o arriviamo fino al riferimento, dove abbiamo posto V = 0, oppure, se ci è scomodo, ci fermiamo in un punto dove il potenziale è noto e calcoliamo la differenza di potenziale tra P e questo punto.

$\displaystyle{\mathbf{V(P)-V(P')=\int E\, dx}}$

Ma noi sappiamo che nella zona 1 il campo elettrico è nullo

$\displaystyle{\mathbf{V(P)-V(P')=0}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{V(P)=V(P')}}$

Quanto vale V(P’) ? E’ il valore del potenziale interno (stà sulla lastra positiva) calcolato per x=0.

$\displaystyle{\mathbf{V=\frac{\sigma}{\epsilon_o}(d-0)=\frac{\sigma}{\epsilon_o}\, d}}$

Quindi

$\displaystyle{\mathbf{V(P)=\frac{\sigma}{\epsilon_o}\,d}}$

Il potenziale nella zona 1 è costante in ogni punto.

Andamento del potenziale nelle zone 1 e 2

Rimane la zona 3

Ed eccoci all’ultimo sforzo. Inutile dire che abbiamo scelto un punto P, un riferimento, questa volta ci conviene arrivare fino al riferimento, e un percorso radiale.

$\displaystyle{\mathbf{V(P)=\int E\, dx}}$

Il campo elettrico nella zona 3 è nullo

$\displaystyle{\mathbf{V(P)=0}}$

I punti della zona 3 sono punti a potenziale nullo.

Andamento complessivo del potenziale di un doppio strato piano.

Notare che tra la zona 1 e la zona 3 c’è un salto di potenziale, ossia un salto energetico.