Caduta dei gravi (Liceo)

Se abbiamo un oggetto in mano e lo lasciamo cadere, perchè cade ? Come cade ?

I corpi cadono perchè c’è un’accelerazione, detta di gravità e indicata con la lettera g, che è diretta sempre verso il basso e che porta tutti i corpi verso il centro della terra.

Qualunque oggetto subisce questa accelerazione e, se lasciato libero da una certa quota, è destinato a scendere con accelerazione costante g = 9,81 m/s².

In realtà il valore di g non è proprio costante, ma subisce delle piccole variazione che studieremo più avanti.

Il corpo lasciato libero da quota h cade inesorabilmente verso terra.

Se invece di un solo oggetto ne lascio cadere due dalla stessa altezza e contemporaneamente, ad esempio una mela ( in onore a Newton ) e un foglio di carta, quale arriverà prima a terra ?. Ci verrebbe da dire, senza ombra di dubbio, che la mela arriverà molto prima, ma non è così. Prendete il foglio di carta e appallottolatelo ben bene fino a farlo diventare simile alla mela e poi lasciateli cadere insieme. Vedrete che arrivano a terra nello stesso istante. Cosa è successo ? Quando il foglio è aperto è soggetto alla resistenza dell’aria, perché essa è formata da particelle che noi non vediamo, ma che ci sono eccome ! Queste rallentano il foglio, ma chiuso bene riusciamo a lenire di molto questo fattore.

Se mettiamo da parte la presenza dell’aria, che non riguarda la gravità, cadono esattamente nello stesso modo.

Facendo l’esperimento nel vuoto ci si toglie ogni dubbio, non serve nemmeno appallottolare la carta.

Tutti i corpi, in vicinanza della Terra cadono, nel vuoto, nello stesso modo indipendentemente dal peso, dalla forma e dalla loro composizione.

Allora se un corpo cade dritto giù con accelerazione costante vuol dire che si sta muovendo di moto rettilineo uniformemente accelerato. La sua traiettoria è una retta, non orizzontale, ma verticale, ma sempre retta è.

Questo tipo di moto lo conosciamo, solo che ora l’accelerazione non è a, ma g.

Per lo studio dobbiamo decidere dove prendere il riferimento, lo possiamo mettere nel punto in cui l’oggetto viene lasciato cadere, oppure a terra, inoltre possiamo scegliere di orientare l’asse y verso l’alto o verso il basso. Ma possiamo fare un po’ come ci pare ? Si, se in un esercizio non è espresso il riferimento, lo prendiamo dove più ci conviene. Ai fini dei calcoli non cambia nulla. Vediamo i due casi.

L’oggetto viene lasciato cadere da quota h. Il riferimento è preso con l’origine o a quota h e l’asse y è diretto verso il basso. Questo significa che per noi il verso positivo è quello verso il basso e quello negativo verso l’alto.

Avremo allora :

per l’accelerazione

$\displaystyle{\mathbf{a=g}}$

Per la velocità

$\displaystyle{\mathbf{v=a\, t=g\, t}}$

per lo spazio percorso

$\displaystyle{\mathbf{s=\frac{1}{2}\, a\, t^2=\frac{1}{2}\, g\, t^2}}$

Queste sono le equazioni del moto. Vogliamo calcolarci quanto tempo ci mette il nostro oggetto ad arrivare a terra e con che velocità ci arriva.

Arriva a terra quando ha percorso uno spazio uguale ad h, mettiamo h al posto di s

$\displaystyle{\mathbf{h=\frac{1}{2}\, g\, t^2}}$

Ci ricaviamo t

$\displaystyle{\mathbf{\frac{1}{2}\, g\, t^2=h \Longrightarrow t^2=\frac{2h}{g}\Longrightarrow t=\sqrt{\frac{2h}{g}}}}$

Questo tempo lo mettiamo nell’equazione della velocità, se t è il tempo che impiega per arrivare a terra, mettendolo nell’equazione della velocità sappiamo che velocità ha acquistato dopo il tempo t

$\displaystyle{\mathbf{v=g\, t=g\, \sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{\frac{2hg^2}{g}}=\sqrt{2\, g\, h}}}$

Spostiamo ora il riferimento in basso, a quota zero (livello del terreno) e ripetiamo i calcoli.

L’origine o è presa a livello zero e l’asse delle y è rivolto verso l’alto. L’altezza dalla quale parte l’oggetto la chiamo h₀ , ossia altezza iniziale o spazio iniziale, perchè all’istante iniziale, in cui lascio il corpo, questo si trova ad una quota diversa dalla nostra origine.

Questa volta l’accelerazione g è negativa perché il verso scelto come positivo è quello verso l’alto mentre g è sempre rivolta verso il basso.

per l’accelerazione

$\displaystyle{\mathbf{a=-g}}$

Per la velocità

$\displaystyle{\mathbf{v=-g\, t}}$

per lo spazio percorso

$\displaystyle{\mathbf{s=h_0-\frac{1}{2}\, g\, t^2}}$

come detto prima h₀ è lo spazio iniziale che prima non c’era, ma ora si.

Calcoliamo di nuovo il tempo che impiega per arrivare a terra.

Quando arriva a terra il corpo ? Quando lo spazio percorso arriva a zero, quindi devo imporre s = 0

$\displaystyle{\mathbf{0=h_0-\frac{1}{2}\, g\, t^2}}$

da cui

$\displaystyle{\mathbf{\frac{1}{2}\, g\, t^2=h_0}}$

e troviamo

$\displaystyle{\mathbf{t=\sqrt{\frac{2h}{g}}}}$

Sostituiamo questo tempo nell’equazione della velocità

$\displaystyle{\mathbf{v =-\, g\, t=-\sqrt{2\, g\, h}}}$

Ci viene il segno meno perché la velocità è diretta verso il basso mentre l’asse y è orientato verso l’alto.

Nella prossima lezione vedremo invece il moto di un corpo lanciato verso l’alto.

Prossima lezione Lancio di un oggetto verso l’alto

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