Grandi oscillazioni

Riprendiamo il nostro pendolo composto, ma questa volta partiamo dalla posizione (A) del corpo

Siamo nella posizione di massima oscillazione. Se ora lasciamo andare il corpo esso ruota attorno al cardine. Vogliamo trovare la velocita’ angolare massima, la velocita del centro di massa (abbiamo visto che coincide con il baricentro) e degli estremi del corpo quando la velocita’ angolare e’ quella massima,

La velocita’ e’ massima quando il corpo e’ nella posizione (B)

Dato che non si tratta di piccole oscillazioni, l’angolo di partenza e’ > 15⁰, non possiamo calcolarci il periodo T, quello che possiamo fare sono solo considerazioni di tipo energetico. Normalmente in esercizi di questo tipo non si considerano gli attriti sul cardine, questo vuol dire che possiamo applicare la conservazione dell’energia meccanica E_m .

Partiamo con la scelta di un riferimento

Il corpo passa dalla posizione (A) in cui e’ fermo alla posizione (B) dove e’ dotato di velocita’ angolare ω_B . L’energia meccanica in (A) e’

$\displaystyle{\mathbf{E_{mA}=U_A=Mg\,\frac{L}{2}}}$ .

In (A) l’energia e’ tutta potenziale. Vediamo l’energia meccanica in (B). Dobbiamo semplicemente dare un’occhiata al baricentro, esso si e’ spostato di 90⁰ lungo un arco di circonferenza e si e’ spostato di L/2, ora si trova alla quota che abbiamo preso come riferimento

$\displaystyle{\mathbf{E_{mB}=E_{CB}=\frac{1}{2}\, I_C\omega_B^2}}$ .

In (B) l’energia e’ tutta cinetica E_CB , I_C e’ il momento d’inerzia rispetto all’asse di rotazione.

Applichiamo la conservazione dell’energia meccanica E_mA = E_mB

$\displaystyle{\mathbf{\frac{1}{2}\, I_C\omega_B^2=Mg\,\frac{L}{2}}}$ .

Da questa possiamo ricavarci ω

$\displaystyle{\mathbf{\omega_B=\sqrt{\frac{MgL}{I_C}}}}$ .

ω_B e’ la velocita’ angolare massima, la ω non e’ costante perche’ il moto e’ circolare ma non uniforme. Sappiamo che il momento d’inerzia di una barra rispetto ad un estremo e’ 1/3 ML²

$\displaystyle{\mathbf{\omega_B=\sqrt{\frac{MgL}{M\,\frac{L^2}{3}}}=\sqrt{\frac{3g}{L}}}}$ .

Vediamo le velocita’ nei punti richiesti. Sappiamo che V = ω r dove r e’ la distanza dal centro di rotazione.

Velocita’ del punto C

V_C = 0 sta’ proprio sull’asse di rotazione, il cardine non si sposta

Velocita’ del punto G. La distanza di G dall’asse di rotazione e L/2

$\displaystyle{\mathbf{v_G=\sqrt{\frac{3g}{L}}\,\frac{L}{2}=\sqrt{\frac{3gL^2}{4L}}=\sqrt{\frac{3}{4}\, gL}}}$ .

Nella prossima lezione vediamo un esercizio che viene spesso dato sul pendolo composto.

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Grandi oscillazioni

Prossima lezione Esercizio tipico con il pendolo composto