Propagazione del calore

La propagazione del calore consiste nel passaggio di una quantità di calore da un corpo ad un altro o da una parte di un corpo ad un’altra.

Il calore si propaga da punti a temperatura più alta a punti a temperatura più bassa. Per la trasmissione del calore esistono tre meccanismi diversi : Conduzione, Convezione, Irraggiamento.

La conduzione riguarda i corpi solidi e viene trasportata solo energia termica.

La convezione riguarda i fluidi e viene trasportata energia termica e massa.

L’irraggiamento avviene attraverso lo spazio, anche vuoto, e l’energia è trasportata mediante onde elettromagnetiche.

La conduzione avviene nei solidi ed è molto ridotta nei fluidi. Viene trasportata energia termica senza trasporto di massa. Se scaldiamo una barra gli atomi vengono messi in oscillazione e, questa vibrazione, si propaga agli atomi vicini fino ad arrivare alla fine della barra. La propagazione delle vibrazioni richiede un tempo che è il tempo di diffusione del calore. La prima molecola non si è spostata lungo la barra, è la vibrazione che si è trasmessa.

La convezione è tipica dei fluidi, nei solidi non c’è. In essa oltre al trasporto di energia c’è anche trasporto di massa. Un esempio tipico è quello della pentola che bolle. L’acqua calda si muove verso l’alto e quella fredda verso il basso. C’è un rimescolamento di acqua. L’acqua che si riscalda sale e prende il posto di quella fredda. L’energia fluisce e c’è anche trasporto di massa.

Vediamo la propagazione del calore attraverso i solidi.

Conduzione

E’ estate, siamo in casa, fuori ci sono 40 gradi, all’interno 20, quanto calore entra da fuori a dentro ?

Il calore che entra è continuo. quindi funzione del tempo.

A è la superficie della parete

d spessore della parete

Indichiamo inoltre con

ΔT il salto termico

Δt l’intervallo di tempo

K la caratteristica del materiale detta conducibilità termica

La quantità di calore che si propaga per conduzione in un tempo Δt attraverso una parete di area A e spessore d, ai due lati della quale è mantenuta una differenza di temperatura ΔT è :

$\displaystyle{\mathbf{Q=K\,\frac{A\, \Delta T\,\Delta t}{d}}}$

Notiamo che :

più la parete è grande, maggiore è l’area di contatto, e maggiore è il calore che entra

maggiore è il salto termico ΔT e maggiore è il calore che entra

maggiore è lo spessore d e più ha difficoltà il calore ad entrare

K dipende dal materiale. Ci sono materiali che sono buoni conduttori di calore e materiali cattivi conduttori. I metalli sono buoni conduttori del calore e hanno un elevato valore di K ( questo per via del legame metallico). Gli isolanti termici sono invece caratterizzati da una bassa conducibilità

Vediamo l’unità di misura di K

$\displaystyle{\mathbf{K=\frac{Q\, d}{A\, \Delta T\, \Delta t}}}$

Quindi

$\displaystyle{\mathbf{\frac{J\, m}{m^2\,\,\, ^0k\,\, s}=\frac{w}{m\,\,^0k}}}$

Riprendiamo la nostra parete

T₁ > T₂

Q/Δt flusso termico

Il flusso termico, ossia il calore per unità di tempo è dato da :

$\displaystyle{\mathbf{\frac{Q}{\Delta t}=K\,\frac{A}{d}\,\Delta T}}$

Questa, nota come legge di Fourier della conduzione, la possiamo vedere come la legge di Ohm dove, la grandezza dinamica che fluisce, invece della corrente è il flusso termico Q/Δt, il salto termico ΔT tra le pareti è la differenza di potenziale ΔV, e la resistenza elettrica R è :

$\displaystyle{\mathbf{R=\frac{d}{K\, A}}}$

Corrente di calore

La corrente di calore nasce perchè c’è un ΔT tra le pareti

$\displaystyle{\mathbf{\Delta T=R\,\frac{Q}{\Delta t}}}$

Vediamo anche come varia la temperatura all’interno della parete

Vogliamo sapere quanto vale la temperatuta T all’interno della parete a distanza x.

Se la parete ha spessore d

$\displaystyle{\mathbf{\frac{Q}{\Delta t}=K\,\frac{A}{d}(T_1-T_2)}}$

Per il tratto x

$\displaystyle{\mathbf{\frac{Q}{\Delta t}=K\,\frac{A}{x}(T_1-T(x))}}$

Questo flusso termico è uguale a quello di prima, esso è lo stesso per tutta la struttura. E’ una grandezza che fluisce senza interruzione. Possiamo allora porre

$\displaystyle{\mathbf{K\,\frac{A}{d}(T_1-T_2)=K\,\frac{A}{x}(T_1-T(x))}}$

Facciamo un pò di semplificazioni

$\displaystyle{\mathbf{\frac{T_1-T_2}{d}=\frac{T_1-T(x)}{x}}}$

Ricaviamo T(x)

$\displaystyle{\mathbf{T(x)=T_1-\biggl(\frac{x}{d}\biggr)\, (T_1-T_2)}}$

Questa è l’equazione di una retta con pendenza negativa

Se x = 0 ⇒ T(x) = T₁

Se x = d ⇒ T(x) = T2

Vediamo ora la parete doppia

Il calore ha, ora, più difficoltà a fluire, le pareti sono due. Il calore attraversa la prima e poi la seconda, in serie. Il flusso è continuo, non si può fermare in un punto altrimenti creerebbe un aumento di temperatura che non è nelle ipotesi di stazionarietà (temperatura uguale nel tempo).

Prima parete

$\displaystyle{\mathbf{T_1-T_m=R_1\,\frac{Q}{\Delta t}}}$

Seconda parete

$\displaystyle{\mathbf{T_m-T_2=R_2\,\frac{Q}{\Delta t}}}$

Ora sommiamo le due equazioni, membro a membro

$\displaystyle{\mathbf{T_1-T_2=\frac{Q}{\Delta t}\, (R_1+R_2)}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{\frac{Q}{\Delta t}=\frac{T_1-T_2}{R_1+R_2}=\frac{T_1-T_2}{R_{tot}}}}$

E’ come se la parete fosse una sola con R = R₁+ R₂ = R_tot

Una volta trovato il flusso termico Q/Δt possiamo anche trovare T_m

$\displaystyle{\mathbf{T_m-T_2=R_2\,\frac{Q}{\Delta t}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{T_m=T_2+R_2\,\frac{Q}{\Delta t}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{T_m=T_2+R_2\,\frac{T_1-T_2}{R_1+R_2}}}$

Il rapporto R₂ / R₁ + R₂ < 1 , quindi la temperatura T_m è intermedia tra T₁ e T₂.

Ricordando che R = d / K A abbiamo

$\displaystyle{\mathbf{T_m=T_2+\frac{\frac{d_2}{K_2}}{\frac{d_1}{K_1}+\frac{d_2}{K_2}}(T_1-T_2)}}$

La pendenza non è uguale nei due casi. E’ meno pendente nel caso più conduttivo.

Prossima lezione Equilibrio termodinamico e variabili di stato