Cariche di polarizzazione in un condensatore

Vediamo come nascono le cariche di polarizzazione in un condensatore piano. Prima di iniziare ti invitiamo a leggere come avviene la polarizzazione.

Supponiamo che, inizialmente, il dielettrico sia neutro. Esso è inserito all’interno di un condensatore dove è presente un campo elettrico. In tali condizioni le molecole del dielettrico iniziano ad orientarsi. Compare allora della carica di polarizzazione.

Le cariche di polarizzazione sono cariche legate, sono un grandissimo numero di dipoli tutti orientati nella stessa direzione (figura piccola a destra).

La faccia superiore del dielettrico, A’, risulta carica negativamente, mentre la faccia inferiore, B’, risulta carica positivamente.

Iniziamo il nostro studio utilizzando il vettore spostamento elettrico D che sappiamo essere insensibile alla presenza della lastra di dielettrico.

La scorsa lezione abbiamo visto il valore del vettore spostamento elettrico nel caso del piano conduttore singolo

$\displaystyle{\mathbf{D=\frac{\sigma_{lib}}{2}}}$

Ora i piani conduttori sono due e il campo al loro interno si raddoppia, quindi si raddoppia anche D. Ricordiamo che lo spostamento elettrico è un vettore che ha la stessa direzione e lo stesso verso del campo elettrico E.

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{D}}=(\epsilon_o\,\epsilon_r)\overrightarrow{\mathbf{E}}}}$

Per il doppio strato piano, il nostro condensatore, si ha

$\displaystyle{\mathbf{D=\sigma_{lib}}}$

Vediamo il campo elettrico

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{E}}=\frac{\overrightarrow{\mathbf{D}}}{\epsilon_o\, \epsilon_r}}}$

Il prodotto tra la costante dielettrica del vuoto e quella relativa, alle volte, viene indicata con ε_a. E’ da notare che c’è una grande differenza tra le due costanti dielettriche, ε_oha dimensioni fisiche, Farad/metro, invece ε_rè un numero puro e rappresenta di quante volte il campo elettrico E si riduce a causa della presenza della materia.

Per conoscere il campo E dobbiamo distinguere la zone dove è presente il dielettrico da quelle dove c’è il vuoto.

Nelle regioni dove c’è il vuoto

$\displaystyle{\mathbf{E_0=\frac{D}{\epsilon_0}=\frac{\sigma_{lib}}{\epsilon_0}}}$

Dove è presente il dielettrico

$\displaystyle{\mathbf{E=\frac{D}{\epsilon_0\,\epsilon_r}=\frac{\sigma_{lib}}{\epsilon_0\,\epsilon_r}}}$

E’ da sottolineare che noi conosciamo quante cariche libere ci sono, o la densità di carica libera, perchè sono le cariche che mettiamo nel condensatore. Invece la densità di polarizzazione, o le cariche di polarizzazione, non le conosciamo. Vogliamo capire quanto vale σ_pol.

Per far questo ci conviene applicare il teorema di Gauss.

Come superficie di Gauss, Σ, scegliamo un cilindro posizionato come nella figura. Come già fatto altre volte, consideriamo la superficie Σ come unione di una superficie laterale e di due superfici di base.

Lungo la superficie laterale il campo elettrico E e la normale alla superficie sono perpendicolari, quindi il flusso del campo E è nullo.

La superficie di base S₁è fuori dal condensatore, non c’è campo elettrico attraverso questa superficie, anche il flusso attraverso S₁è nullo.

Solo la superficie S₂contribuisce al flusso, su di essa il campo E e la normale n sono paralleli e il flusso è massimo.

$\displaystyle{\mathbf{\Phi_{\Sigma}(\overrightarrow{\mathbf{E}})=\Phi_{S_1}(\overrightarrow{\mathbf{E}})=\int_S\overrightarrow{\mathbf{E}}\cdot\hat{n}\, dS=E\int_SdS=E\, S}}$

Ora applichiamo Gauss che ci dice che il flusso attraverso la superficie è pari alla carica interna su ε_o

$\displaystyle{\mathbf{\Phi_{\Sigma}(\overrightarrow{\mathbf{E}})=\frac{q_{int}}{\epsilon_o}}}$

Uguagliamo i due flussi

$\displaystyle{\mathbf{E\, S=\frac{q_{int}}{\epsilon_o}}}$

La carica interna è quella nel cilindro

$\displaystyle{\mathbf{q_{int}=(\sigma_{lib}-\sigma_{pol})S}}$

Sostituiamo

$\displaystyle{\mathbf{E\, S=\frac{\sigma_{lib}-\sigma_{pol}}{\epsilon_o}\, S}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{E=\frac{\sigma_{lib}-\sigma_{pol}}{\epsilon_o}}}$

Questo campo E è quello nel dielettrico, S₁sta nel dielettrico

$\displaystyle{\mathbf{E=\frac{\sigma_{lib}}{\epsilon_o\,\epsilon_r}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{\frac{\sigma_{lib}}{\epsilon_o\,\epsilon_r}=\frac{\sigma_{lib}-\sigma_{pol}}{\epsilon_o}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{\frac{\sigma_{lib}}{\epsilon_r}=\sigma_{lib}-\sigma_{pol}}}$

Calcoliamo il rapporto tra la densità di polarizzazione e quella delle cariche libere, in pratica quanta carica di polarizzazione c’è rispetto alla carica libera.

$\displaystyle{\mathbf{\frac{\sigma_{pol}}{\sigma_{lib}}=\frac{\epsilon_r-1}{\epsilon_r}<1}}$

Questo è ovviamente un rapporto minore di 1, inoltre, chi ci dice quanta carica di polarizzazione è presente rispetto alla carica libera è la costante dielettrica relativa del mezzo, ε_r.

Se quel rapporto è minore di 1 vuol dire che il fenomeno della polarizzazione non è mai completo. Il meccanismo di polarizzazione non risulta mai efficiente come lo è invece l’induzione nei conduttori. Si forma meno carica rispetto a quella che provoca la polarizzazione.

Dato che il rapporto tra le densità di carica è anche quello tra le cariche, σ=q/S , vuol dire che vale anche la relazione

$\displaystyle{\mathbf{\frac{q_{pol}}{q_{lib}}<1}}$