Sorgenti del campo magnetico H

Questa lezione sulle sorgenti del campo magnetico H è utile per chi vuol capire perché all’interno di un materiale magnetizzato il campo H ha verso contrario a B. Occorrono buone conoscenze sul campo magnetico e sulle correnti di magnetizzazione.

Partiamo dalle relazioni di B nel vuoto

$\displaystyle{\mathbf{div \overrightarrow{\mathbf{B}}_0=\nabla \cdot \overrightarrow{\mathbf{B}}_0=0}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{rot \overrightarrow{\mathbf{B}}_0=\nabla \times \cdot \overrightarrow{\mathbf{B}}_0=\mu_0\, \overrightarrow{\mathbf{J}}}}$

La prima esprime il fatto che non ci sono le sorgenti di B.

La seconda che B non è irrotazionale.

Se siamo in presenza di un materiale dobbiamo tenere conto delle cariche in essa presenti. In questo caso, per lo studio, oltre al vettore induzione magnetica, occorre introdurre il vettore M, intensità di magnetizzazione.

Il vettore M lo possiamo vedere come il vettore P, intensità di polarizzazione introdotto nel caso dei dielettrici. Sempre nel caso del campo elettrico si considera il vettore D spostamento elettrico.

$\displaystyle{\mathbf{div \overrightarrow{\mathbf{D}}=\nabla\cdot \overrightarrow{\mathbf{D}}=\rho_{lib}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{D}}=\epsilon_0 \, \overrightarrow{\mathbf{E}}+ \overrightarrow{\mathbf{P}}}}$

Con il vettore D esprimiamo una relazione per i dielettrici dove compare solo la carica libera. Inoltre, nel caso di materiali isotropi

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{D}}=\epsilon_0 \, (1+\chi) \overrightarrow{\mathbf{E}}=\epsilon_0\,\epsilon_r\, \overrightarrow{\mathbf{E}}=\epsilon\, \overrightarrow{\mathbf{E}}}}$

χ è la suscettività dielettrica e caratterizza il dielettrico.

Tutte queste cose dovreste conoscerle già. Ora iniziamo la lezione sulle sorgenti del campo magnetico H.

In presenza di materiale il valore di B lo possiamo ancora esprimere con le due prime relazioni scritte, però oltre alla densità della corrente esterna J, dobbiamo considerare una densità media delle correnti atomiche J_M.

$\displaystyle{\mathbf{div \overrightarrow{\mathbf{B}}=\nabla \cdot \overrightarrow{\mathbf{B}}=0}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{rot \overrightarrow{\mathbf{B}}=\mu_0 (\overrightarrow{\mathbf{J}}+\overrightarrow{\mathbf{J}}_m )}}$

Quello che dobbiamo fare è esprimere J_M

Consideriamo un solenoide avvolto nel vuoto

Chiamiamo n_sil numero di spire per unità di lunghezza L del solenoide. Il numero totale delle sue spire è N = n_sL

$\displaystyle{\mathbf{B_0=\mu_0\, n_s\, i_0}}$

Ora riempiamo il solenoide con un mezzo omogeneo isotropo

$\displaystyle{\mathbf{B=\mu_0\,\mu_r\, n_s\, i_0=\mu\, n_s\, i_0}}$

Calcoliamo B-B₀

$\displaystyle{\mathbf{B-B_0=(\mu -\mu_0)n_s\,\i_0=\mu_0(\mu_r-1)n_si_0}}$

Appare così la corrente

$\displaystyle{\mathbf{i_M=(\mu_r-1)i_0}}$

E’ una corrente che scorre in n_sspire per unità di lunghezza avvolte attorno al mezzo. Sulla superficie del mezzo. i_Mè la corrente di magnetizzazione.

Sappiamo che ad una spira è associato un momento magnetico

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{m}}=i\, S\, \hat{n}}}$

Le correnti atomiche che scorrono in n_sspire hanno un momento magnetico

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{m}}=n_s\, i_M\, S\, \hat{n}}}$

Questo è il momento magnetico delle correnti atomiche per unità di lunghezza. L’intensità di magnetizzazione per unità di volume è

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{M}}= \frac{\overrightarrow{\mathbf{m}}}{S\, 1}=n_s\, i_M\, \hat{n}}}$

Il vettore M ha la direzione dell’asse del solenoide, così come B₀

Utilizzando M abbiamo

$\displaystyle{\mathbf{B-B_0=\mu_0 (\mu_r -1)n_s i_0=\mu_0 n_s i_M=\mu_0\, M}}$

Da questa ricaviamo che

$\displaystyle{\mathbf{B=B_0+\mu_0 M}}$

Applichiamo l’operatore rotore ad ambo i membri

$\displaystyle{\mathbf{rot\overrightarrow{\mathbf{B}}=\mu_0\Bigl (\overrightarrow{\mathbf{J}}+\overrightarrow{\mathbf{J}}_m \Bigr)=rot\overrightarrow{\mathbf{B}}_0 +\mu_0 rot\overrightarrow{\mathbf{M}}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{\mu_0 \overrightarrow{\mathbf{J}}+\mu_0\overrightarrow{\mathbf{J}}_m=rot\overrightarrow{\mathbf{B}}_0 +\mu_0 rot\overrightarrow{\mathbf{M}}}}$ .

Sappiamo che

$\displaystyle{\mathbf{rot \overrightarrow{\mathbf{B}}_0=\mu_0\, \overrightarrow{\mathbf{J}}}}$

Sostituiamo

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{J}}_m=rot \overrightarrow{\mathbf{M}}}}$

Introduciamo il vettore H

$\displaystyle{\mathbf{H=\frac{B}{\mu_0}-M}}$

e ne facciamo il rotore

$\displaystyle{\mathbf{rot\overrightarrow{\mathbf{H}}=\frac{rot \overrightarrow{\mathbf{B}}}{\mu_0}- rot \overrightarrow{\mathbf{M}}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{rot\overrightarrow{\mathbf{H}}=\frac{1}{\mu_0}\, \mu_0\Bigl (\overrightarrow{\mathbf{J}}+\overrightarrow{\mathbf{J}}_m \Bigr )- \overrightarrow{\mathbf{J}}_m=\overrightarrow{\mathbf{J}}}}$

Stabilite tutte queste belle cosette torniamo alla relazione con l quale abbiamo introdotto il campo H. Da questa ricaviamo B.

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{B}}=\mu_0 \overrightarrow{\mathbf{H}}+\mu_0 \overrightarrow{\mathbf{M}}}}$

Applichiamo la divergenza

$\displaystyle{\mathbf{\nabla\cdot\overrightarrow{\mathbf{B}}=\mu_0 \nabla\cdot\overrightarrow{\mathbf{H}}+\mu_0 \nabla\cdot\overrightarrow{\mathbf{M}}}}$

Ma la divergenza del vettore B è nulla

$\displaystyle{\mathbf{\nabla\cdot\overrightarrow{\mathbf{H}}=-\nabla\cdot\overrightarrow{\mathbf{M}}}}$

La divergenza del vettore H non è nulla nel materiale

Supponiamo che M si diretto lungo l’asse x

$\displaystyle{\mathbf{\nabla\cdot\overrightarrow{\mathbf{M}}=-\frac{dM}{dt}}}$

Introduciamo una densità di poli magnetici

$\displaystyle{\mathbf{\rho_m=-\frac{dM}{dt}}}$

E sostituiamo

$\displaystyle{\mathbf{\nabla\cdot\overrightarrow{\mathbf{H}}=\rho_m}}$

Il vettore campo magnetico H ammette poli magnetici.

Fuori dal materiale M è nullo

I poli stanno gli estremi del materiale, dove non è nulla la divergenza di M.

Notiamo infine un’analogia tra campo magnetico e campo elettrostatico. In assenza di correnti libere, J = 0 e per H si ha

$\displaystyle{\mathbf{\nabla\times\overrightarrow{\mathbf{H}}=0}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{\nabla\cdot\overrightarrow{\mathbf{H}}=\rho_m}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{\nabla\times\overrightarrow{\mathbf{E}}=0}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{\nabla\cdot\overrightarrow{\mathbf{E}}=\frac{\rho}{\epsilon_0}}}$

Sono due campi conservativi (sono irrotazionali) che ammettono poli positivi da cui partono le linee di flusso, o negativi dove convergono.

I poli magnetici sono sorgenti del campo H e non di B.

Che ne è allora delle linee di flusso del campo H ?

Dato che il vettore intensità di magnetizzazione M ha una discontinuità agli estremi della barra magnetizzata, avremo un polo negativo detto Sud e uno positivo Nord.

Le linee di flusso sono simili quelle di un campo elettrico generato da due distribuzioni opposte di carica.

Il campo H prodotto dalla magnetizzazione del materiale è opposto al vettore M (dentro il materiale). Questo campo viene chiamato campo demagnetizzante.

Fuori dal materiale

$\displaystyle{\mathbf{B_0=\mu_0 H}}$

e le linee di flusso sono uguali.

Nel materiale

$\displaystyle{\mathbf{B=\mu_0( H+M)}}$

dove nascono le differenze.

Per concludere facciamo due chiacchiere meno tecniche.

Campo demagnetizzante Prendiamo il nostro pezzo di ferro e pratichiamo un piccolo foro longitudinale che corrisponde al percorso delle linee di forza. Se il foro è sottilissimo, fuori da esso il campo è più o meno quello di prima, invece all’interno si hanno delle linee di ritorno.

Allora il vero campo magnetizzante è H – H’. In realtà, questo avviene anche senza praticare il foro perché il campo H’, demagnetizzante, si costituisce attraverso gli spazi compresi tra le molecole orientate.