Palla da bowling

Ecco un bellissimo esercizio che vi puo’ capitare, vediamo come affrontarlo. Lanciamo una palla da bowling, questa per un po’ striscia, dopo inizia a rotolare. Dopo quanto tempo inizia a rotolare ?

Quando la lanciamo inizialmente striscia e l’attrito, che e’ dinamico, tende a rallentare la velocita’ del punto di contatto. Scriviamo le equazioni cardinali.

Prima equazione cardinale proiettata lungo x e Y

$\displaystyle{\begin{cases}y\; :\; R_n-P=0 \\x\; :\, -A_d=ma_c\end{cases}}$

Da queste ci ricaviamo a_C

$\displaystyle{a_c=-\frac{A_d}{m}=-\frac{\mu_d mg}{m}=-\mu_d g}$

la velocita’ con cui trasla, tenendo conto che l’abbiamo lanciata con una certa velocita’ iniziale V₀, e’

$\displaystyle{V_{tras}=V_0-\mu_d\, g\, t}$

Seconda equazione cardinale

Le forze esterne agenti sono l’attrito A_d , la forza peso P e la reazione vincolare R_n

$\displaystyle{M_{A_d}+M_P+M_{R_n}=I_c\, \alpha}$

Calcoliamo i momenti rispetto al centro di massa

M_P = 0, M_Rn = 0 e M_Ad = A_d r r = raggio della palla

A_d r = I_Cα

A_d produce la rotazione

$\displaystyle{\alpha=\frac{A_dr}{I_c}=\frac{\mu_d\, mgr}{I_c}}$

La velocita’ di rotazione dei punti periferici e’ V = ω r con ω = α t + ω₀ = α t perche’ inizialmente la palla non ruota (ω₀ = 0)

$\displaystyle{V=\omega\, r=\frac{mr^2}{I_c}\, \mu_d\, g\, t}$

Abbiamo trovato

$\displaystyle{\mathbf{\begin{cases}\textbf{v}_{trasl}=\textbf{v}_0-\mu_d\, \textbf{g\, t} \\ \textbf{v}_{rot}=\frac{\textbf{mr}^2}{\textbf{I}_C}\, \mu_d\, \textbf{gt}\end{cases}}}$

La velocita’ di traslazione va diminuendo nel tempo, la velocita’ di rotazione cresce nel tempo e tutto a causa dell’attrito. L’attrito tende a portare il moto a puro rotolamento.

dal tempo t^∗ in poi il moto e’ di puro rotolamento con V_trasl= V_rot

$\displaystyle{\mathbf{\frac{mr^2}{I_C}\, \mu_d\, g\, t=V_0-\mu_d\, g\, t}}$

Ci ricaviamo t^∗

$\displaystyle{\mathbf{t^*=\frac{V_0}{\mu_d\, g}\;\frac{I_C}{I_C+mr^2}}}$

e la velocita’ di rotolamento vale

$\displaystyle{\mathbf{V_{rot}=\frac{mr^2}{I_C}\,\mu_d\, g\, t^*=V_0\,\frac{mr^2}{I_C+mr^2}}}$

Da t^∗ in poi cosa succede ?

una volta instaurato il rotolamento esso permane e la palla va bella lontana.