Galleggiamento

Per studiare il galleggiamento dei corpi consideriamo il ghiaccio nel mare

Se immergiamo del ghiaccio in acqua questo sale. Sale perchè la sua densità è circa 920 kg/m³ mentre l’acqua marina è circa 1025 kg/m³ .

Il ghiaccio affiora, non esce del tutto. Una quota parte rimane immersa.

Vogliamo valutare quanta parte affiora e quanta rimane immersa.

La forza peso la applichiamo nel baricentro del fhiaccio

La spinta di Archimede la applichiamo nel centro di spinta che non coincide più con il baricentro perchè la spinta di Archimede agisce solo sulla parte immersa, quella che sposta il volume di acqua.

Il centro di spinta S è il centro della parte immersa.

Per la forza peso abbiamo

$\displaystyle{\mathbf{F_G=m_{corpo}\, g=\rho_{corpo}\, V_{totale}\, g}}$

Per la spinta di Archimede si ha

$\displaystyle{\mathbf{F_A=m_{fluido}\, g=\rho_{fluido}\, V_{immerso}\, g}}$

La massa del fluido (spostato) è solo la massa immersa.

Se il nostro iceberg è in equilibrio

F_A = F_G

(ρ_corpo v_tot)g = (ρ_fluido v_imm) g

da cui ricaviamo

$\displaystyle{\mathbf{\frac{v_{imm}}{v_{tot}}=\frac{\rho_{corpo}}{\rho_{fluido}}}}$

Il rapporto tra il volume immerso e quello totale ci dà la percentuale immersa rispetto al totale. E’ un numero compreso tra zero e 1. Questa percentuale è fissa perchè è legata alle densità.

ρ_corpo = 920 kg/m³

ρ_{acqua marina} = 1025

$\displaystyle{\mathbf{\frac{\rho_c}{\rho_a}\simeq 90\% }}$

Un iceberg emerge per un 10%

Proviamo ora ad inclinare il ghiaccio

Accade che la forma della parte immersa varia e così anche il centro di spinta. La forza peso e la forza di spinta determinano una coppia.

Si viene a creare un momento di rotazione.

Particolarmente interessante è il caso in cui il corpo parzialmente immerso è di forma simmetrica rispetto al piano per G S

Quello disegnato è il tipico caso di un natante.

S’ è il nuovo centro di spinta, dopo la rotazione la verticale per S’ incontra la GS in un èunto detto metacentro M. Il natante è soggetto ad una coppia, se M è al di sopra di G tale coppia tende a riportare il corpo nella posizione di equilibrio.

La stabilità del natante cresce all’aumentare della distanza tra G e M. Se M è al di sotto di G la coppia tende a far rivoltare il natante.

Ora ci vogliamo fare del male, prendiamo un cubetto di ghiaccio, lo mettiamo in acqua, lo spingiamo giù e poi lo lasciamo libero. Cosa succede? Si innescano delle oscillazioni verticali. Vediamole.

L è l’altezza del cubetto, x è l’altezza della parte immersa, L – x è quella che emerge. Le S sono le due superfici di base.

Forza di gravità

$\displaystyle{\mathbf{F_G=m\, g=(\rho_{ghiaccio}\, v_{tot})\, g}}$

Per la spinta di Archimede

$\displaystyle{\mathbf{F_A=m_f\, g=(\rho_f\, v_{imm})\, g}}$

ρ_f è la densità del fluido, dell’acqua,m_f è quella del fluido spostato, v_imm è il volume della parte immersa.

V_tot = L S

V_imm = X S

Quindi

F_G = (ρ_gh L S) g

F_A = (ρ_fX S) g

Secondo principio

F_G – F_A = m a

Sostituiamo

(ρ_gh L S) g – (ρ_fX S) g = m a

(ρ_gh L S) g – (ρ_fX S) g = ρ_gh S L a la massa che viene accelerata è tutta quella del ghiaccio.

Sostituiamo all’accelerazione la derivata seconda dello spazio

$\displaystyle{\mathbf{(\rho_{gh}\, L\, S)g-(\rho_f \, x\, S) g=\rho_{gh}\, S\, L \frac{d^2x}{dt^2}}}$

Eliminiamo S comune a tutti

$\displaystyle{\mathbf{(\rho_{gh}\, L)g-(\rho_f \, x) g=\rho_{gh}\, L \frac{d^2x}{dt^2}}}$

Mettiamo in ordine l’equazione

$\displaystyle{\mathbf{\frac{d^2x}{dt^2}+\frac{\rho_f\, g}{\rho_{gh}\, L}\, x=g}}$

Questa è un’equazione differenziale del secondo ordine lineare. Ritroviamo la stessa situazione vista per la molla.

C’è anche l’integrale particolare che si ottiene uguagliando

$\displaystyle{\mathbf{\frac{\rho_f\, g}{\rho_{gh}\, L}\, x =g}}$

Che rappresenta la posizione stabile del cubetto.