Centro di massa

Per lo studio del centro di massa ripartiamo dalla lezione precedente.

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{F_{tot}}^{ext}=\sum_{J=1}^{N}m_J\overrightarrow{\textbf{a}}_J=\frac{d^2}{dt^2}\,\sum_{J=1}^{N}m_J\overrightarrow{\textbf{r}}_J}}$ .

Eravamo arrivati a questa relazione. Ci occupiamo ora dell’ultimo termine

$\displaystyle{\mathbf{\sum_{J=1}^{N}m_J\overrightarrow{\textbf{r}}_J}}$ .

vogliamo scriverlo in maniera diversa.

Per prima cosa diciamo che, nello studio del moto di tutte le masse, non seguiremo ogni singola parabola, sarebbe una follia. A tale scopo introduciamo il concetto di centro di massa, cosi’ definito

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\textbf{r}}_c=\frac{\sum_{J=1}^{N}m_J\overrightarrow{\textbf{r}}_J}{\sum_{J=1}^{N}m_J}}}$ .

Non è altro che una posizione media di tutte le masse. Attenzione, non e’ un semplice centro, e’ ottenuto sommando le posizioni di tutte le massa pero’, tali posizioni, sono pesate dalle masse. Ad esempio il centro di massa tra un elefante e una mosca e’ tutto spostato verso l’elefante perche’ considero anche le loro masse. Quindi non e’ un banale centro, ma un centro di massa. E’ una media pesata.

Dato che avevamo stabilito la conservazione della massa

$\displaystyle{\mathbf{\sum_{J=1}^{N}m_J=M_{tot}}}$ .

Possiamo scrivere

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\textbf{r}}_c=\frac{\sum_{J=1}^{N}m_J\overrightarrow{\textbf{r}}_J}{M_{tot}}\hspace{1cm}\Longrightarrow\hspace{1cm} \sum_{J=1}^{N}m_J\overrightarrow{\textbf{r}}_J=\overrightarrow{\textbf{r}}_c\, M_{tot}}}$ .

La forza totale esterna la esprimiamo allora nel modo seguente

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{F_{tot}}^{ext}=\sum_{J=1}^{N}m_J\overrightarrow{\textbf{a}}_J=\frac{d^2}{dt^2}\, M_{tot}\overrightarrow{\textbf{r}}_c=M_{tot}\frac{d^2}{dt^2}\,\overrightarrow{\textbf{r}}_c}}$ .

Se pensiamo a tutte le masse che stanno ognuna seguendo la propria parabola, ci rendiamo conto che il centro di massa, nel tempo si sposta. Il c.d.m. si sposta insieme alle masse. Avremo allora una velocita’ per il c.d.m. e un’accelerazione per il c.d.m.

La velocita’ del centro di massa e’ semplicemente la derivata dello spazio percorso nel tempo

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\textbf{v}_c}=\frac{d\overrightarrow{\textbf{r}_c}}{dt}}}$ .

L’accelerazione e’ la derivata della velocita’

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\textbf{a}_c}=\frac{d^2\overrightarrow{\textbf{v}_c}}{dt^2}}}$ .

La forza totale esterna puo’ quindi essere espressa come

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{F_{tot}^{ext}}=M_{tot}\overrightarrow{\textbf{a}_c}}}$ .

E’ come considerare tutte le masse concentrate nel c.d.m.. Noi studiamo il moto del centro di massa. Siamo tornati allo studio di un semplice punto, e’ una bella semplificazione.

Per quanto detto sino ad ora e’ allora chiaro che noi seguiamo l’evoluzione del solo centro di massa, di conseguenza consideriamo solo le forze esterne, perche’ le forze interne che agiscono tra le masse, a due a due hanno risultante nulla.

Esprimiamo meglio la velocita’ del c.d.m.

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\textbf{v}_c}=\frac{d\overrightarrow{\textbf{r}_c}}{dt}=\frac{\frac{d}{dt}\sum_{J=1}^{N}m_J\overrightarrow{\textbf{r}_J}}{M_{tot}}=\frac{\sum_{J=1}^{N}m_J\overrightarrow{\textbf{v}}_J}{M_{tot}}}}$ .

E’ la media pesata delle velocita’ delle singole masse.

Analogamente per l’accelerazione si ha

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\textbf{a}_c}=\frac{d\overrightarrow{\textbf{v}_c}}{dt}=\frac{d^2\overrightarrow{\textbf{r}_c}}{dt^2}=\frac{\sum_{J=1}^{N}m_J\overrightarrow{\textbf{a}_J}}{M_{tot}}}}$ .

L’accelerazione e’ la media pesata delle accelerazioni delle singole masse.

Abbiamo stabilito la relazione

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{F}^{ext}=M_{tot}\overrightarrow{\textbf{a}_c}}}$ .

Applichiamola al proiettile che esplode in aria. Quando il proiettile esplode si divide in tante schegge. La forza esterna che agisce e’ la forza peso la quale e’ indipendente dall’esplosione, g non la cambia nessuno. Quindi la forza che provoca l’accelerazione del centro di massa e’ P = m g. Allora, se la forza e’ sempre la stessa, dopo l’esplosione il c.d.m. prosegue la sua corsa come prima, ossia prosegue la traiettoria parabolica.

Riprendiamo l’espressione che ci da’ la posizione del c.d.m

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\textbf{r}}_c=\sum_{J=1}^{N}\frac{m_J\overrightarrow{\textbf{r}}_J}{M_{tot}}}}$ .

Questa e’ un’equazione vettoriale, quindi la possiamo scomporre secondo gli assi e trovare le tre coordinate X_c , Y_c e Z_c

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\textbf{x}}_c=\sum_{J=1}^{N}\frac{m_J\overrightarrow{\textbf{x}}_J}{M_{tot}}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\textbf{y}}_c=\sum_{J=1}^{N}\frac{m_J\overrightarrow{\textbf{y}}_J}{M_{tot}}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\textbf{z}}_c=\sum_{J=1}^{N}\frac{m_J\overrightarrow{\textbf{z}}_J}{M_{tot}}}}$ .

Come esempio calcoliamo il c.d.m. del sistema sole terra

M_S ≅ 2 10³⁰ Kg massa del sole

M_T ≅ 6 10²⁴ Kg massa della terra

d = 150.000.000 Km distanza sole terra

$\displaystyle{\mathbf{X_c=\frac{M_sX_1+M_TX_2}{M_s+M_T}=\frac{M_s\cdot 0+M_T\cdot d}{M_s+M_T}=\frac{M_T}{M_s+M_T}\simeq 450Km}}$ .

Praticamente sta’ dentro il sole. Per i corpi celesti il concetto di centro di massa e’ molto importante perche’ essi ruotano intorno ad esso.

Vediamo un altro esempio con tre masse poste su di una retta

M₁ = 2 Kg ; M₂ = 6 Kg ; M₃ = 2Kg

$\displaystyle{\mathbf{X_c=\frac{M_1X_1+M_2X_2+M_3X_3}{M_1+M_2+M_3}=1,8m}}$ .

Il c.d.m, e’ vicino alla massa piu’ grande.

Vediamo un esempio nel piano

Abbiamo 3 masse uguali all’esempio precedente, questa volta poste in un piano, le cui coordinate possiamo leggerle dalla figura. Per calcolare il c.d.m., questa volta dobbiamo trovare le due coordinate X_C e Y_C

$\displaystyle{\mathbf{X_c=\frac{M_1X_1+M_2X_2+M_3X_3}{M_1+M_2+M_3}=1,8m}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{Y_c=\frac{M_1Y_1+M_2Y_2+M_3Y_3}{M_1+M_2+M_3}=1,2m}}$ .

Nella prossima lezione vediamo il calcolo del c.d.m. per sistemi continui.

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