Forze tra correnti e definizione di Ampere

Abbiamo studiato le forze che si generano tra cariche in moto passiamo ora alle forze tra correnti e definizione di Ampere.

Rivediamo un attimo il caso di due cariche.

Forze tra cariche in moto In particolare abbiamo visto l’effetto della prima carica, dotata di velocità V₁, sulla seconda, che ha velocità V₂. Oltre alla forza elettrica F_E, che risulta repulsiva se le cariche sono dello stesso segno, compare anche la forza magnetica F_L, forza di Lorentz. Questo perché le cariche sono in moto.

Nel caso di cariche che hanno stessa direzione e stesso verso la forza magnetica risulta attrattiva.

$\displaystyle{\mathbf{F_E=\frac{1}{4\pi\epsilon_o}\, \frac{q_1\, q_2}{r^2}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{F_E=\frac{\mu_o}{4\pi}\, \frac{q_1\, q_2\, V_1\, V_2}{r^2}}}$

Abbiamo anche notato che la forza F_L risulta piccola rispetto alla forza elettrica F_E. Infatti, se ne facciamo il rapporto

$\displaystyle{\mathbf{\frac{F_L}{F_E}=V_1V_2\mu_o\epsilon_o=\frac{V_1V_2}{c^2}}}$

Questo risulta << 1 (c è la velocità della luce).

Da due cariche in moto passiamo a due flussi di cariche, ossia due correnti. Le cariche che fluiscono stanno all’interno di fili conduttori. Sappiamo che un filo conduttore è elettricamente neutro ( se non lo sai lo trovi qui ), anche se percorso da corrente elettrica. Questo vuol dire che non c’è la forza elettrica F_Eche agisce sul secondo filo. Rimane solo la forza magnetica.

Questo è un filo percorso dalla corrente I e le linee di campo magnetico da esso generate.

Per avere il verso delle linee di campo puntiamo il pollice nel verso della corrente, il resto della mano si chiude come il verso delle linee di campo.

Consideriamo due fili paralleli percorsi da correnti equiverse e posti a distanza d tra di loro.

Vogliamo studiare cosa succede al secondo filo ad opera del primo.

Prendiamo un piccolo tratto dL del filo 2. Su di esso agisce il campo magnetico generato dal primo.

Il filo 2 subirà una forza data dalla seconda formula di Laplace. E’ vero che le azioni sono mutue, anche il filo 2 ha un effetto magnetico sul filo 1, ma noi ora studiamo cosa accade al secondo filo.

Il primo filo è quello che genera il campo, il secondo filo è quello che subisce la forza.

Iniziamo a scrivere il campo generato dalla corrente I₁ , che scorre nel filo 1 , sul tratto dL del filo 2, usando la legge di Biot e Savart.

$\displaystyle{\mathbf{B_1=\frac{\mu_o}{2\pi}\, \frac{I_1}{d}}}$

Questo è un campo non uniforme. Più ci allontaniamo dal filo e minore è la sua azione (la distanza d è a denominatore).

Applichiamo la second formula di Laplace per vedere cosa provoca B₁nel tratto dL del filo 2

$\displaystyle{\mathbf{d\overrightarrow{\mathbf{F}}=I_2\, d\overrightarrow{\mathbf{L}}\times \overrightarrow{\mathbf{B}}_1}}$

Questa è la forza che agisce sul pezzettino dL del filo 2 ad opera del campo magnetico generato dal primo.

Dato che i vettori induzione magnetica B e dL sono ortogonali, il prodotto vettoriale è massimo e il modulo della forza è

$\displaystyle{\mathbf{dF=I_2\, dL\, B_1}}$

La forza è proporzionale a dL. Più lungo è il pezzetto di filo in considerazione e maggiore risulta la forza.

In pratica più lungo è il filo e maggiore forza subisce.

A noi interessa la forza per unità di lunghezza

$\displaystyle{\mathbf{\frac{dF}{dL}=I_2\, B_1}}$

Sostituiamo a B₁la sua espressione scritta prima

$\displaystyle{\mathbf{\frac{dF}{dL}=\frac{\mu_o}{2\pi d}\, I_1I_2}}$

Se consideriamo un tratto di filo lungo L, possiamo scrivere la proporzione

$\displaystyle{\mathbf{dF : dL=F:L}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{\frac{dF}{dL}=\frac{F}{L}}}$

Quindi

$\displaystyle{\mathbf{\frac{F}{L}=\frac{\mu_o}{2\pi d}\, I_1I_2}}$

Abbiamo detto che le azioni sono mutue, allora se prendiamo due fili e li facciamo percorrere da correnti equiverse, essi si avvicinano.

Oltre alla forza che agisce sul secondo filo ad opera del primo, c’è anche la forza che agisce sul primo dovuta al campo magnetico generato dal secondo.

Tra i due fili agisce una mutua forza attrattiva.

Se invertiamo una delle due correnti

Le forze cambiano verso e diventano repulsive.

Possiamo avere forze attrattive o repulsive a seconda che le correnti risultano equiverse o meno.

Definizione di Ampere

Partiamo dalla relazione che esprime la forza, attrattiva o repulsiva, che due fili paralleli e percorsi da corrente esercitano l’uno sull’altro.

$\displaystyle{\mathbf{F=\frac{\mu_o}{2\pi d}\, I_1I_2\, L}}$

Per definire l’Ampere si usa questa formula perché i termini che vi compaiono sono misurabili precisamente.

Vediamo l’effetto, in termini di forza, quando i due fili sono percorsi entrambi da correnti 1A e la loro distanza è 1 metro.

$\displaystyle{\mathbf{F=\frac{\mu_o}{2\pi d}\, I_1I_2\, L=\frac{\mu_o}{2\pi}=\frac{4\pi\times 10^{-7}}{2\pi}=2\times 10^{-7} N}}$

Se la corrente che scorre nei due fili è di intensità 1A, si sviluppa una forza magnetica di 2×10^-7N per ogni metro di lunghezza di filo.

L’ampere è l’intensità di quella corrente che, se scorre in due fili posti a distanza di 1 metro, produce, per ogni metro di lunghezza una forza magnetica di 2×10^-7N (attrattiva o repulsiva).