Esercizio 1 Lavoro e Energia

Esercizio 1

Calcolare l’eneααrgia cinetica di un proiettile di massa m = 100 g lanciato alla velocità V₀ = 600 m/s con un angolo α = 30⁰ rispetto all’orizzontale, nell’istante in cui raggiunge il vertice della traiettoria parabolica.

Come sempre facciamo un disegno del testo appena letto.

Ecco il nostro proiettile che parte con velocità V₀ . Ci chiedono la sua energia cinetica nel vertice della parabola.

Intanto ricordiamo la definizione di energia cinetica

$\displaystyle{\mathbf{E_c=\frac{1}{2}mv^2}}$

Dobbiamo trovare la velocità nel punto più alto.

Quando il proiettile è in volo sappiamo che è soggetto all’accelerazione di gravità. Possiamo porre :

a_x = 0

a_y = – g

Questo perchè l’accelerazione di gravità è tutta diretta verso il basso, quindi non ha componente lungo x . Abbiamo messo il segno – dato che il nostro asse y è orientato verso l’alto. Partiamo da queste relazioni.

Dalle componenti dell’accelerazione passiamo alle componenti della velocità semplicemente integrando, infatti l’accelerazione è definita come :

$\displaystyle{\mathbf{a=\frac{dv}{dt}}}$

Separiamo le variabili

$\displaystyle{\mathbf{dv=a\, dt}}$

Integriamo

$\displaystyle{\mathbf{\int_{v_0}^v dv=\int_{t_0}^t a\, dt}}$

Risolviamo

$\displaystyle{\mathbf{v=v_0+a(t-t_0)}}$

Nel nostro caso avremo

$\displaystyle{\mathbf{v_x=v_{0x}=v_0\cos\alpha}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{v_y=v_{0y}-gt=v_0\sin\alpha-gt}}$

Dobbiamo notare che la velocità lungo x è sempre la stessa, è costante. Quella lungo y , invece varia nel tempo. In particolare V_y è rivolta verso l’alto nella prima metà della parabola e verso il basso nella seconda metà, ossia c’è un’inversione prima e dopo l’apice. Questo significa che nel punto più alto la componente y della velocità si annulla.

All’apice la velocità è solo V_x ( che è costante)

L’energia cinetica, in quel punto, è allora :

$\displaystyle{\mathbf{E_c=\frac{1}{2}mv_x^2=\frac{1}{2}m(v_0\cos\alpha)^2=135\times 10^2 J}}$