Condensatore sferico

Il condensatore sferico è formato da due sfere concentriche conduttrici, una interna e una esterna. Quella interna è l’armatura positiva, quella esterna è l’armatura negativa.

R1 è il raggio dell’armatura interna

R2 è il raggio dell’armatura esterna

Quando allochiamo carica positiva sul conduttore interno, per il fenomeno dell’induzione, le cariche libere che si trovano sulla sfera esterna si affacciano verso quella interna. Questo è un fenomeno di induzione completa, ossia se sull’armatura interne è presente una carica +q, si forma una carica -q su quella esterna.

Si genera un sistema a carica netta nulla.

Puntualizziamo che le due armatura sono disgiunte, non c’è alcuna comunicazione tra di loro. Le cariche positive non possono ricombinarsi con quelle negative. (In realtà esistono fenomeni dispersivi per cui qualche carica riesce a ricongiungersi).

Per studiare il condensatore sferico dobbiamo considerare tre zone.

La zona interna alle due sfere, che indichiamo come zona 1, quella intermedia tra le due sfere, zona 2 e quella esterna, zona 3.

Iniziamo con il calcolo del campo elettrico nelle tre zone. Ci conviene applicare il teorema di Gauss.

Zona 3 esterna

Calcoliamo il campo elettrico nel punto P esterno alle due armature. Come superficie chiusa di Gauss scegliamo una sfera concentrica alle due del condensatore e passante per P.

$\displaystyle{\mathbf{\Phi_{\Sigma}(\overrightarrow{\mathbf{E}})=\int\!\!\!\int_{\Sigma}\overrightarrow{\mathbf{E}}\cdot\hat{n}\, dS}}$

Per le scelte fatte, il campo elettrico E e la normale alla superficie Σ sono vettori paralleli.

$\displaystyle{\mathbf{\Phi_{\Sigma}(\overrightarrow{\mathbf{E}})=E\, 4\pi r^2}}$

r è la distanza del punto P dal cantro 4πr²è la superficie della sfera.

Applichiamo Gauss

$\displaystyle{\mathbf{\Phi_{\Sigma}(\overrightarrow{\mathbf{E}})=\frac{Q_{int}}{\epsilon_o}=\frac{Q-Q}{\epsilon_o}=0}}$

La carica interna alla superficie di Gauss è Q_int= +Q -Q=0

Uguagliando i flussi

$\displaystyle{\mathbf{E4\pi r^2=\frac{Q_{int}}{\epsilon_o}=0}}$

Ne deduciamo che E = 0. All’esterno del condensatore non c’è campo elettrico.

Zona 2 intermedia

Con le stesse scelte di prima

$\displaystyle{\mathbf{\Phi_{\Sigma}(\overrightarrow{\mathbf{E}})=E\, 4\pi r^2}}$

Applichiamo Gauss

$\displaystyle{\mathbf{\Phi_{\Sigma}(\overrightarrow{\mathbf{E}})=\frac{Q_{int}}{\epsilon_o}}}$

La carica interna a Σ è +Q, quella della sfera positiva

$\displaystyle{\mathbf{E\, 4\pi r^2=\frac{Q}{\epsilon_o}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{E=\frac{Q}{4\pi\epsilon_o r^2}}}$

Zona interna 1

Senza perdere troppo tempo, è evidente che dentro la superficie Σ di Gauss non è presente alcuna carica.

$\displaystyle{\mathbf{\Phi_{\Sigma}(\overrightarrow{\mathbf{E}})=0}}$

Quindi E = 0

Nella zona interna il campo è nullo.

$\displaystyle{\mathbf{r<R_1\qquad E=0}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{R_1<r<R_2\qquad E= \frac{Q}{4\pi\epsilon_o r^2}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{r>R_2\qquad E=0}}$

Il campo elettrico è presente solo tra le due armature.

Passiamo ora al calcolo della differenza di potenziale tra le due armature.

Per il calcolo della d.d.p. dobbiamo scegliere un qualunque percorso che va da un punto, che chiamiamo A, sull’armatura positiva, ad uno, B, su quella negativa.

Ovviamente scegliamo un percorso radiale, in tal modo integriamo lungo il raggio e ci semplifichiamo la vita.

$\displaystyle{\mathbf{V_A-V_B=\int_{R_1}^{R_2}E\, dr}}$

Il campo E è quello della zona 2 tra le armature

$\displaystyle{\mathbf{\frac{Q}{4\pi\epsilon_o r^2}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{V_A-V_B=\int_{R_1}^{R_2}\frac{Q}{4\pi\epsilon_o r^2}\, dr=\frac{Q}{4\pi\epsilon_o }\int_{R_1}^{R_2}\frac{dr}{r^2}=\frac{Q}{4\pi\epsilon_o }\Biggl [-\,\frac{1}{r}\Biggr ]_{R_1}^{R_2}=\frac{Q}{4\pi\epsilon_o }\,\frac{R_2-R_1}{R_1 R_2}}}$

Una volta calcolata la differenza di potenziale possiamo trovare la capacità.

Calcolo della capacità del condensatore sferico

$\displaystyle{\mathbf{C=\frac{Q}{\Delta V}=\frac{Q}{V_A-V_B}}}$

Q è la carica allocata, è la sola +Q, la -Q nasce per induzione.

Sostituiamo alla differenza di potenziale la sua espressione

$\displaystyle{\mathbf{C=\cfrac{Q}{\cfrac{Q}{4\pi\epsilon_o}\,\cfrac{R_2-R_1}{R_1R_2}}=4\pi\epsilon_o \,\frac{R_1R_2}{R_2-R_1}}}$

La capacità C è una grandezza geometrica(a parte il fattore ε_oche vedremo tra qualche lezione), non è legata alla carica che mettiamo nel condensatore.

La capacità la possiamo scrivere anche in un altro modo. Consideriamo le due superfici S_Ae S_B

$\displaystyle{\mathbf{S_A=4\pi R_1^2\,\qquad\, S_B=4\pi R_2^2}}$

e prendiamone la media geometrica, ossia la prima superficie per la seconda, sotto radice quadrata

$\displaystyle{\mathbf{\sqrt{S_A S_B}=\sqrt{4\pi R_1^2\, 4\pi R_2^2}=4\pi R_1R_2}}$

Questa è una superficie intermedia tra le due. Se andiamo a rivedere l’espressione della capacità, troviamo il termine 4πR₁R₂

$\displaystyle{\mathbf{C=4\pi\epsilon_o\,\frac{R_1R_2}{R_2-R_1}=\frac{\epsilon_o\,\sqrt{S_AS_B}}{R_2-R_1}}}$

Chiamiamo d la distanza R₂ – R₁

$\displaystyle{\mathbf{C=\frac{\epsilon_o\,\sqrt{S_AS_B}}{d}}}$

Vediamo allora che, sempre a parte ε_o, per aumentare la capacità del condensatore basta ridurre la distanza d tra le due armature. Questa riduzione ha, però dei limiti, il campo elettrico potrebbe aumentare troppo e portare a fenomeni di scarica.