Energia potenziale per il liceo

Abbiamo definito, nelle lezioni passate, l’energia come la capacità che ha un corpo di compiere lavoro. (Se ho energia posso compiere un lavoro). In particolare, se un corpo possiede una velocità ha un certo valore di energia cinetica . Definiamo ora un altro tipo di energia che non è legata al movimento, ma ad altre condizioni in cui si trova il corpo, essa è l’energia potenziale.

Se una pietra si trova ad altezza h dal suolo, essa possiede un’energia potenziale ed è in grado di compiere un lavoro quando cade. (Vedetela così, se un oggetto si trova ad una certa altezza, potenzialmente, quando cadrà potrà fare un danno). Stiamo parlando dell’energia potenziale della forza peso.

Ci sono altri tipi di energia potenziale, ad esempio quella posseduta da una molla se viene compressa.

Se rilasciamo la molla essa trasferisce la sua energia potenziale elastica alla pallina gialla lanciandola lontano.

Avrete notato che di energia cinetica ne abbiamo una sola, quella legata alla velocità del corpo, per l’energia potenziale, invece, ci sono più forme legate alla posizione o alla compressione o ad altre condizione alle quali si trova il corpo.

Iniziamo con l’energia potenziale della forza peso. Oramai avrete capito che energia e lavoro sono strettamente correlati, iniziamo quindi, a calcolare il lavoro della forza peso.

Consideriamo un corpo che si trova ad altezza h dal suolo.

Il lavoro compiuto dalla forza peso P per portare la massa m (rossa) da quota h fino a terra è pari al prodotto del modulo di P per lo spazio percorso h moltiplicato per il coseno dell’angolo formato da P e h.

$\displaystyle{\mathbf{L=Ph\cos\alpha}}$

L’angolo tra forza P e spostamento h è pari a zero, i due vettori sono paralleli, quindi cosα = 1

$\displaystyle{\mathbf{L=Ph=mgh}}$

Questa relazione ha una particolarità, essa vale sempre, qualunque sia il percorso seguito dal corpo per passare da quota h a quota zero.

Vediamo un esempio. Se invece di lasciarlo cadere verticalmente, mettiamo il corpo su di un piano inclinato

Il lavoro compiuto dalla forza peso per far passare la massa dal punto A al punto B, L_AB , ora è pari alla somma dei lavori da A a C, L_AC , e da C a B, L_CB_. Il corpo prima scende lungo il piano inclinato e poi si porta in B.

$\displaystyle{\mathbf{L_{AB}=L_{AC}+L_{CB}}}$

Valutiamo questi due lavori.

Nella figura abbiamo evidenziato gli angoli, α angolo di inclinazione del piano e π/2 – α angolo tra la forza peso P e spostamento.

Lavoro da A a C

$\displaystyle{\mathbf{L_{AC}=Ps\cos \Bigl (\frac{\pi}{2}-\alpha \Bigr )=Ps\sin\alpha}}$

s è lo spazio percorso lungo il piano inclinato, per quanto riguarda le funzioni goniometriche seno e coseno bisogna conoscere la relazione

$\displaystyle{\mathbf{\cos \Bigl (\frac{\pi}{2}-\alpha \Bigr )=\sin\alpha}}$

Ossia seno e coseno sono sfasati tra di loro di un angolo di π/2.

Esprimiamo la forza peso

$\displaystyle{\mathbf{P=mg}}$

ed anche la relazione che lega h ad s (lo spazio percorso lungo il piano è l’ipotenusa del triangolo)

$\displaystyle{\mathbf{h=s\sin\alpha}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{L_{AC}=mg\,\frac{h}{\sin\alpha}\,\sin\alpha=mgh }}$

Ora calcoliamo il lavoro da C a B

$\displaystyle{\mathbf{L_{CB}=0}}$

Questo lavoro è nullo perchè in quel tratto la forza peso è perpendicolare allo spostamento.

Lavoro totale

$\displaystyle{\mathbf{L_{AB}=mgh+0=mgh}}$

Il lavoro compiuto dalla forza peso quando un corpo passa da una posizione A a quota h, ad una posizione B a quota zero non dipende dal cammino percorso.

Possiamo generalizzare questo risultato.

Quando un corpo passa dal punto A a quota h_A al punto B a quota h_B , il lavoro compiuto dalla forza peso

non dipende dal particolare percorso seguito.

Sia che il percorso è 1, oppure 2 , o 3 o quello che potete immaginare voi, il lavoro è sempre pari a

$\displaystyle{\mathbf{L=mgh_A-mgh_B=mg(h_A-h_B)}}$

Dato che non ci interessa come il corpo sia passato dalla posizione iniziale A a quella finale B, ma soltanto il salto di quota, possiamo esprimere il lavoro da A a B come differenza dei valori assunti da una funzione U nei punti a e B. Questa funzione U, che dipende solo dalle posizioni iniziale e finale, è detta energia potenziale.

$\displaystyle{\mathbf{L=U_A-U_B}}$

U è detta energia potenziale gravitazionale.

$\displaystyle{\mathbf{L=U_A-U_B=-\Delta U}}$

Il segno meno compare perchè il Δ indica una variazione tra un valore finale ed uno iniziale Δ = U_B – U_A da cui – Δ = U_A – U_B.

La relazione lavoro uguale variazione di energia potenziale vista per la forza peso, vale anche per altri tipi di forze (noi vedremo la forza elastica nella lezione dedicata alla molla).

Tutte quelle forze, il cui lavoro può essere espresso come differenza dei valori che la funzione U assume tra due diverse posizioni, vengono dette forze conservative. La funzione U è detta energia potenziale.

A questo punto dobbiamo notare una cosa. Partendo dalla relazione

$\displaystyle{\mathbf{L=U_A-U_B}}$

Se in essa poniamo

$\displaystyle{\mathbf{U_A=mgh_A+c}}$

$\displaystyle{\mathbf{U_B=mgh_B+c}}$

dove c è una costante arbitraria, otteniamo

$\displaystyle{\mathbf{L=U_A-U_B=mgh_A+c-(mgh_B+c)=mgh_A-mgh_B}}$

Ossia abbiamo lo stessa relazione. Questo vuol dire che il valore dell’energia potenziale in un punto non è noto precisamente, ma a meno del valore di una costante. Quella che è nota è la differenza di energia potenziale.

Se però assumiamo c = 0 possiamo scrivere

$\displaystyle{\mathbf{U=mgh}}$

e risulta, allora che U = 0 per h = 0

Questo significa assumere pari a zero l’energia potenziale a quota zero (livello del mare). Vedremo che negli esercizi prenderemo il riferimento zero per l’energia potenziale nel punto più in basso.

Sempre dalla relazione

$\displaystyle{\mathbf{L=mg(h_A-h_B)}}$

si vede che se la posizione iniziale A è alla stessa quota di quella finale B, il lavoro è nullo. Ancora, se il punto iniziale e finale coincidono, il lavoro compiuto dalla forza peso per spostare l’oggetto da A a b è nullo, L = 0.

Il lavoro compiuto dalla forza peso lungo una traiettoria chiusa è nullo. Questo vale per tutte le forze conservative.

La prossima lezione la dedichiamo interamente alla molla, alla sua forza elastica e all’energia potenziale elastica.

Prossima lezione La molla

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