Moti curvilinei (Liceo)

I moti curvilinei sono quelli che avvengono lungo una traiettoria curva. Fino ad ora abbiamo visto solo moti rettilinei, che si svolgono lungo una retta sia orizzontale che verticale.

Come studiamo un moto che avviene lungo una curva ? Intanto un riferimento formato dalla retta x e l’origine o non ci va più bene, dobbiamo usare un piano cartesiano o x y . Seconda cosa, studiando la cinematica, ossia il moto dei corpi, abbiamo incontrato delle grandezze cinematiche come spazio, velocità e accelerazione che sappiamo essere grandezze vettoriali, grandezze caratterizzate da tre informazioni, modulo, direzione e verso. Se non siete sicuri della vostra conoscenza sui vettori guardate qui prima di andare avanti Vettori

In realtà non le abbiamo mai considerate come vettori, non usavamo la regola del parallelogramma o del punta coda per sommare due spazi percorsi o due velocità. Perchè ?

Perché se il moto avviene lungo una retta i vettori sono tutti affilati, la proiezione lungo la retta del vettore è il vettore stesso, è tutto il vettore e il calcolo vettoriale non ci serve.

Le cose cambiano se siamo in un piano

Questi due vettori non si possono sommare come fossero due semplici scalari (numeri), le loro direzioni sono diverse. Devo usare la regola del parallelogramma.

Tutto per dire che ora compariranno i vettori.

Possiamo riprendere il nostro punto materiale e metterlo nel piano cartesiano.

La posizione del punto P la posso individuare tramite il vettore r che congiunge l’origine degli assi con il punto nel quale si trova P. Questo è detto vettore posizione o raggio vettore.

Se il punto P si sposta lo fa anche il vettore r , esso segue il punto P al variare del tempo.

Supponiamo allora che il punto P si sposti da una posizione A ad una posizione B lungo una traiettoria curvilinea.

Il punto P è passato dalla posizione A a B percorrendo la traiettoria curvilinea segnata in rosso. r₁ è il vettore posizione che individua il punto P quando si trova in A, diciamo al tempo t₁, mentre il vettore posizione r₂ individua il punto P quando si trova in B, al tempo t₂. ΔS è lo spazio percorso da P nel tempo t₂ – t₁

Definiamo ora il vettore spostamento Δr

Il vettore spostamento Δr collega la posizione iniziale A del punto con la posizione finale B. Se ricordate la differenza tra due vettori sapete che quel vettore spostamento è proprio la differenza r₂ – r₁

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\Delta r}=\overrightarrow{ r}_2-\overrightarrow{ r}_1}}$

Se andiamo a calcolarci la velocità che ha tenuto il punto P per passare da A a B si ha

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{v}=\frac{\overrightarrow{\Delta r}}{\Delta t}}}$

Notiamo che lo spazio effettivamente percorso nello spostamento è Δs che è ben diverso da Δr. L’errore che commettiamo può essere molto grande. Se, però, consideriamo intervalli di tempo sempre più piccoli, ossia facendo Δt sempre più piccolo, il valore di Δr si avvicina a quello di Δs.

Per Δt piccolissimo, o come si dice facendo tendere Δt a zero ( Δt → 0 ), l’errore è praticamente nullo e quella che troviamo è la velocità proprio all’istante t₁. Abbiamo trovato la velocità istantanea.

Sui libri trovate una cosa scritta così

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{v}=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\overrightarrow{\Delta r}}{\Delta t}}}$

che non avete ancora studiato in matematica, ma, a parole, significa quello che abbiamo appena detto.

Quando Δt diventa molto piccolo Δr assume la direzione della tangente alla traiettoria nel punto A.

In generale :

La velocità istantanea ha la direzione della tangente alla traiettoria nella posizione occupata dal punto nell’istante considerato.

Guardate bene queste due velocità v₁, all’istante t₁ e v₂ all’istante t₂, supponiamo che esse hanno lo stesso valore in modulo (lunghezza del vettore). La direzione ?

La direzione di un vettore è quella della retta su cui sta

Le direzioni delle due velocità sono quelle tratteggiate e sono proprio diverse !

v₁ e v₂ sono vettori, per essere uguali devono avere il modulo uguale, la direzione uguale e il verso pure ! Allora quei due vettori sono diversi.

Tutto questo vuol dire che la velocità cambia nel tempo. Se la velocità varia nel tempo, ricordando che

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{a}=\frac{\overrightarrow{\Delta V}}{\Delta t}}}$

vuol dire che è presente un’accelerazione, anche se i moduli sono uguali.

Se ora facciamo la differenza vettoriale

Δv = v₂ – v₁

ci accorgiamo cheΔv è un vettore diretto perpendicolarmente alla traiettoria e verso il centro

In un moto uniforme (modulo della velocità costante) che avviene su una traiettoria curvilinea, esiste, in ogni istante, un’accelerazione detta centripeta, diretta perpendicolarmente alla traiettoria.

Cosa succede se cambia anche il modulo della velocità ?

Succede che si presenta un’accelerazione che, questa volta risulta tangente alla traiettoria e che viene chiamata accelerazione tangenziale a_t.

In pratica : in un moto rettilineo la direzione della velocità è costante, quindi non c’è accelerazione centripeta, in un moto rettilineo uniforme non c’è nè accelerazione centripeta nè accelerazione tangenziale. Un’auto che viaggia a 100 km/h costanti ha, in curva, solo accelerazione centripeta. Se l’auto, sempre in curva passa da 100 km/h a 150 km/h ha sia l’accelerazione centripeta che quella tangenziale.

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