Momento di una forza rispetto ad un punto

Consideriamo una forza F che agisce su di un punto Q ed un punto O detto polo

In questo caso facciamo una distinzione tra il punto in cui e’ applicata la forza e quello alla base delle nostre considerazioni, vediamo perche’. Quando un corpo ha dimensioni, ossia non e’ un punto materiale, il punto in cui applichiamo la forza assume grande importanza

Dalla figura e’ chiaro il diverso effetto dovuto alla forza applicata allo stesso corpo ma in punti diversi.

Torniamo alla nostra forza applicata nel punto Q e al polo O, r e’ il raggio vettore che ci da’ la posizione, rispetto al polo, del punto cui e’ applicata la forza. Si definisce momento di una forza rispetto al polo O il vettore

$\displaystyle{\overrightarrow{\textbf{M}}_0=\overrightarrow{\textbf{r}}x\overrightarrow{\textbf{F}}}$ .

Il momento e’ un vettore, quindi ha tre informazioni : intensita’, direzione e verso. Vediamole una alla volta.

– Intensita’

M₀ = r F sinθ

per valutare l’angolo θ dobbiamo posizionare i due vettori, forza e raggio vettore, con l’origine in comune

Abbiamo prolungato la forza con la sua linea di azione (parte tratteggiata) e abbiamo chiamato b (braccio) la distanza del polo dalla linea di azione della forza F. b e’ la distanza minima del punto O dalla retta che e’ la linea di azione della forza.

Dalla figura si vede che

b = r sinθ

questo lo mettiamo nell’espressione del momento

M₀ = r F sinθ = b F

Il momento e’ pari al prodotto della forza F per il braccio.

Il momento c’e’ se c’e’ una forza e se c’e’ un braccio.

– Direzione

Dato che il momento e’ dato dal prodotto vettoriale tra r e F sara’ perpendicolare al piano individuato da r e da F.

– Verso

Il verso e’ dato dalla solita regola della mano destra, mano che si avvolge da r, primo vettore, a F, il pollice ci da’ il verso, entrante nel foglio.

Vediamo ora come calcolare il momento dalle componenti di r e di F:

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\textbf{r}}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\textbf{F}}=F_x\hat{i}+F_y\hat{j}+F_z\hat{k}}}$ .

Il momento lo possiamo calcolare dal determinante formato da :

prima riga = versori degli assi

seconda riga = componenti del primo vettore

terza riga = componenti del secondo vettore

$\displaystyle{\overrightarrow{\textbf{M}}_0=\overrightarrow{\textbf{r}}x\overrightarrow{\textbf{F}}=\begin{vmatrix} \hat{\textbf{i}}&\hat{\textbf{j}}&\hat{\textbf{k}}\\ \textbf{ x} & \textbf{y} & \textbf{z} \\ F_x & F_y & F_z \end{vmatrix} }$ .

Che si puo’ risolvere ad esempio estraendo i minori, facendo attenzione ai segni.

Continuiamo con il momento di una forza rispetto ad un asse.

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