Energia immagazzinata in un condensatore

Vediamo come calcolare l’energia immagazzinata in un condensatore.

In un condensatore carico sono presenti cariche opposte affacciate a distanza d. A questo corrisponde una energia potenziale.

Per calcolare questa energia immagazzinata immaginiamo di partire da un condensatore sul quale sia già presente una certa carica q sull’armatura positiva e una -q su quella negativa, e di continuare il processo di carica.

Sul nostro condensatore abbiamo già portato la carica q, continuiamo a caricarlo trasportando la carica infinitesima dq positiva, dall’armatura negativa B a quella positiva A.

Per far questo dobbiamo compiere un lavoro contro le forze del campo, è un lavoro che dobbiamo compiere noi dall’esterno.

Di certo non averrà mai, in modo spontaneo, il passaggio di una carica positiva da una distribuzione negativa verso una positiva.

Il lavoro elementare per lo spostamento di dq è

$\displaystyle{\mathbf{dL=dq(V_A-V_B)}}$

Ricordiamo che la capacità è il rapporto tra la carica allocata e la differenza di potenziale tra le due armature.

$\displaystyle{\mathbf{C=\frac{q}{V_A-V_B}}}$

Da questa ci ricaviamo la differenza di potenziale

$\displaystyle{\mathbf{V_A-V_B=\frac{q}{C}}}$

e la sostituiamo nell’espressione del lavoro elementare dL

$\displaystyle{\mathbf{dL=\frac{q}{C}\, dq}}$

Per avere il lavoro totale dobbiamo integrare questa espressione tra gli estremi q=0, carica iniziale, e q=Q, carica finale che trasportiamo.

Questo lavoro è anche l’energia elettrostatica immagazzinata nel condensatore.

$\displaystyle{\mathbf{U_{el}=L=\int dL=\int_0^Q\frac{q}{C}\, dq}}$

Possiamo portare la capacità C fuori dall’integrale, sappiamo che non dipende dalla carica. Se non ne sei convinto guarda, ad esempio, a questo link Condensatore piano.

$\displaystyle{\mathbf{U_{el}=\frac{1}{C}\,\int_0^Qq\, dq=\frac{1}{2}\,\frac{Q^2}{C}}}$

Possiamo sprimere l’energia anche in un altro modo, mettendo al posto di Q/C la differenza di potenziale ΔV

$\displaystyle{\mathbf{U_{el}=\frac{1}{2}\, Q\Delta V}}$

C’è anche un terzo modo per esprimere l’energia, basta porre Q = C ΔV

$\displaystyle{\mathbf{U_{el}=\frac{1}{2}\, C\Delta V^2}}$

Queste tre espressioni esprimono l’energia immagazzinata in un condensatore, quale usare dipende dai dati che danno nell’esercizio.