Caduta dei gravi 2 (Liceo)

Abbiamo visto come cade un oggetto, ora vediamo cosa succede se lo lanciamo verticalmente verso l’alto con una velocità v₀.

L’oggetto, lanciato con velocità iniziale v_0,diminuisce la propria velocità durante la salita. Ad una certa altezza h la velocità si annulla v = 0, il moto si inverte e il corpo ricade giù. Torna indietro perchè l’accelerazione di gravità porta tutti i corpi verso il basso. La velocità di salita è positiva perchè concorde con l’asse y, quella di caduta è negativa perchè discorde.

Studiamo analiticamente questo moto. E’ un moto rettilineo, visto che avviene lungo una retta, e, anche se il moto si inverte, lo studio è fatto con una sola equazione per la velocità e una sola per lo spazio percorso.

Lanciamo il nostro corpo verso l’alto

L’oggetto è sottoposto all’accelerazione di gravità g che è l’unica accelerazione presente, quindi

a = – g

il segno meno c’è perchè g è rivolta verso il basso mentre noi abbiamo scelto, come positivo il verso opposto.

L’accelerazione di gravità è costante, quindi il moto è rettilineo e uniformemente accelerato con accelerazione a = – g. Conosciamo già le leggi di questo tipo di moto.

Velocità nel tempo

$\displaystyle{\mathbf{v=v_0\, -\, g\, t}}$

V₀ è la velocità iniziale di lancio.

Posizione nel tempo

$\displaystyle{\mathbf{y=y_0\, + v_0\, t\, -\, \frac{1}{2}\, g\, t^2}}$

y₀ è la posizione iniziale del nostro corpo, nel nostro caso è zero perchè all’istante iniziale, quello in cui lo lancio, si trova a quota zero. Abbiamo scelto così il nostro riferimento.

Negli esercizi ci possono chiedere quale altezza massima raggiunge il corpo e quanto tempo impiega ad andare e tornare.

Calcolo dell’altezza massima

Quando raggiunge l’altezza massima ? Abbiamo detto che l’oggetto sale e mano a mano diminuisce la sua velocità, per un istante questa si azzera e poi inizia a cadere. Allora si trova all’altezza massima quando V = 0, quando si annulla la velocità. Poniamo allora V = 0 nell’equazione della velocità.

$\displaystyle{\mathbf{v_0-g\, t =0\, \Longrightarrow\, v_0=g\, t\, \Longrightarrow\, t=\frac{v_0}{g}}}$

Questo è il tempo che impiega a raggiungere l’apice. Se questo tempo lo mettiamo nello spazio percorso troviamo proprio la massima altezza raggiunta.

$\displaystyle{\mathbf{y=h =v_0\, t-\frac{1}{2}\, g\, t^2=v_0\, \biggl(\frac{v_0}{g}\biggr)-\frac{1}{2}\, g\,\biggl(\frac{v_0}{g}\biggr)^2=\frac{v_0^2}{g}-\frac{v_0^2}{2g}=\frac{v_0^2}{2g}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{h=\frac{v_0^2}{2g}}}$

Questa è l’altezza massima raggiunta dal corpo.

Vediamo ora quanto tempo rimane in aria. Dobbiamo capire quando ritorna a terra, non certo quando la velocità è nulla, ce l’ha eccome, fatevi cadere un blocco di marmo su di un piede e poi ditemi se ha velocità o meno. Arriva a terra quando y =0, quando si trova a quota zero, a quella di partenza. Mettiamo allora y = 0 nell’equazione dello spazio.

$\displaystyle{\mathbf{v_0\, t-\frac{1}{2}\, g\, t^2=0}}$

Mettiamo in evidenza t

$\displaystyle{\mathbf{t\biggl(v_0-\frac{1}{2}\, g\, t\biggr) =0}}$

Per la legge dell’annullamento del prodotto, l’equazione si annulla se

$\displaystyle{\mathbf{t = 0}}$

oppure se

$\displaystyle{\mathbf{v_0-\frac{1}{2}\, g\, t =0\,\Longrightarrow\, v_0=\frac{1}{2}\, g\, t \,\Longrightarrow\, t=\frac{2\, v_0}{g}}}$

Abbiamo allora due soluzioni, ed è giusto, visto che l’equazione è di secondo grado. La prima, t = 0 c’è perchè anche al tempo iniziale l’oggetto si trova a quota zero ( prima di lanciarlo ). A noi interessa la seconda soluzione, che ci da proprio il tempo totale, quello di andata e ritorno.

$\displaystyle{\mathbf{t=\frac{2\, v_0}{g}}}$

Dobbiamo notare una cosa : quando abbiamo calcolato il tempo per raggiungere la quota massima, si è trovato

$\displaystyle{\mathbf{t=\frac{v_0}{g}}}$

Questo vuol dire che il tempo totale è il doppio del tempo impiegato a raggiungere la quota massima, e anche che il tempo di salita è uguale a quello di discesa. Attenzione quanto trovato vale se la quota di partenza è uguale a quella di arrivo. Se parte da quota zero, ma atterra ad una quota di 2 m, non è più vero.

Se ora prendiamo il tempo totale di volo e lo mettiamo nell’equazione che ci dice come varia la velocità nel tempo, troviamo con che velocità il corpo arriva a terra.

$\displaystyle{\mathbf{v=v_0-g\, t=v_0-g\, \frac{2\, v_0}{g}=v_0-2v_0=-\, v_0}}$

La velocità con la quale atterra è la stessa con cui è partito, ma cambiata di segno.

Nella prossima lezione vedremo i Moti curvilinei

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