Esempi c.d.m. e conservazione della quantita’ di moto

Nella lezione precedente abbiamo studiato la conservazione della quantità di moto ora vediamo degli esempi

Consideriamo una zattera con una massa posta sopra

C’e’ attrito tra la massa M_A e la zattera M_B , non c’e’ invece attrito tra la zattera e l’acqua. Lanciamo la massa M_A con velocita’ V₀. Inizialmente M_B e’ ferma.

Quando la massa M_A si sposta anche la zattera inizia a muoversi nello stesso verso, questo e’ dovuto alla forza di attrito presente tra le due masse. L’attrito e’ il responsabile del movimento relativo delle due masse una rispetto all’altra. Vogliamo calcolare l’istante in cui M_A si ferma su M_B .

Iniziamo ad analizzare le forze

Sulla massa M_A agisce l’attrito dinamico Ad , ma questa forza e’ presente anche su M_B per il terzo principio. Ad tende ad annullare il moto relativo tra le due masse. Essa risulta frenante per M_A e accelerante per M_B . M_A si trascina dietro la zattera con il suo moto. In assenza di attrito la zattera non segue il moto della massa M_A .

Scriviamo il secondo principio per le due masse

Massa M_A

asse n : R_NB – M_A g = 0 dato che R_NB e R_NA sono uguali in modulo ⇒ R_NA – M_A g = 0

asse t : -Ad = M_A a_A

Dall’equazione lungo l’asse t ricavo l’accelerazione di M_A , anzi la decelerazione, visto che Ad decelera M_A

$\displaystyle{\mathbf{\textbf{a}_A=-\frac{A_d}{M_A}\hspace{0,5cm}ma\;Ad=\mu_dR_N=\mu_dM_Ag\Longrightarrow \textbf{a}_A=-\frac{\mu_dM_Ag}{M_A}=-\mu_dg}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{\textbf{a}_A=-\mu_dg}}$ .

Per passare alla velocita’ dobbiamo integrare, tenendo conto della velocita’ iniziale che abbiamo impresso alla massa M_A

$\displaystyle{\mathbf{v_A(t)=v_0-\mu_dgt}}$ .

Massa M_B

asse n : R_Nacqua = R_NA + M_B g La reazione dell’acqua compensa le due masse

asse t : Ad = M_B a_B

Dalla seconda ricaviamo a_B

$\displaystyle{\mathbf{\textbf{a}_B=\frac{A_d}{M_B}=\frac{\mu_dR_{NA}}{M_B}=\frac{M_A}{M_B}\,\mu_dg}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{\textbf{a}_B=\frac{M_A}{M_B}\,\mu_dg}}$ .

Di nuovo, per passare alla velocita’ integriamo, questa volta non c’e’ velocita’ iniziale perche’ la zattera parte da ferma.

$\displaystyle{\mathbf{v_B(t)=\frac{M_A}{M_B}\,\mu_d\,g\,t}}$ .

Dobbiamo capire quando M_A si ferma su M_B . Se stiamo seduti su di un treno che viaggia a 50 km/h ci sentiamo fermi anche se andiamo a 50 km/h. Quindi, quando le due masse raggiungono la stessa velocita’ e non c’e’ piu’ velocita’ relativa, non c’e’ piu’ attrito, esse procedono con velocita’ uniforme e il sistema prosegue con la velocita’ comune del centro di massa.

Per calcolare la velocita’ del centro di massa applichiamo la conservazione della quantita’ di moto

p_prima= M_A V₀

p_dopo = (M_A + M_B) V_C

Uguagliando le quantita’ di moto troviamo

$\displaystyle{\mathbf{v_C=v_0\,\frac{M_A}{M_A+M_B}}}$ .

Vediamo un altro esempio tipico

Abbiamo un uomo su di una zattera che deve camminare verso la banchina per poter sbarcare. Vogliamo capire se riesce a scendere. Facciamo un esempio numerico

L = 10 m ; M = 150 Kg ; m = 50 kg e cosideriamo la zattera omogenea

Calcoliamo il centro di massa del sistema uomo zattera. Per la zattera, dato che e’ omogenea, il suo c.d.m. si trova in L / 2 . Dobbiamo allora trovare il c.d.m. tra la zattera concentrata in L / 2 e l’uomo in posto in X = L

$\displaystyle{\mathbf{x_c=\frac{mL+M\left (\frac{L}{2}\right )}{m+M}=6,25 m}}$ .

Mentre l’uomo cammina sulla zattera spinge su di essa, per il terzo principio anche la zattera spinge sull’uomo. L’uomo procede per la presenza dell’attrito ( senza attrito non potremmo camminare) mentre la zattera va’ all’indietro. Attrito e spinta della zattera sono forze interne al sistema uomo zattera.

Quando l’uomo arriva alla fine, la condizione e’ quella di figura

Ora il c.d.m. della zattera si trova in

$\displaystyle{\mathbf{\frac{d+L+d}{2}=d+\frac{L}{2}}}$ .

L’uomo si trova in X = d quindi il centro di massa del sistema sta’ in

$\displaystyle{\mathbf{x_C=\frac{md+M\left (d+\frac{L}{2}\right )}{m+M}=d+\left (\frac{M}{m+M}\right )\,\frac{L}{2}}}$ .

Dobbiamo fare una considerazione, nel moto di un sistema il centro di massa si muove come un punto materiale con massa pari a quella dell’intero sistema e sul quale agisce la risultante delle forze esterne. Se la risultante delle forze esterne e’ nulla il centro di massa permane nel suo stato di moto rettilineo uniforme o, se e’ in quiete, rimane fermo. Nel nostro caso le forze che agiscono sono forze interne al sistema, allora il centro di massa non si e’ spostato

Se il centro di massa non si e’ spostato possiamo porre

$\displaystyle{\mathbf{x_C=d+\left (\frac{M}{m+M}\right )\,\frac{L}{2}=6,25}}$ .

Da questa possiamo ricavare di quanto si e’ spostata la zattera

$\displaystyle{\mathbf{d=x_c-\left (\frac{M}{m+M}\right )\frac{L}{2}=2,45m}}$ .

Ne deduciamo che l’uomo non riesce a sbarcare.

Dalla prossima lezione iniziamo lo studio dei processi d’urto

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