Energia cinetica esempio piano con attrito

Vediamo un esempio di uso dell’energia cinetica

Consideriamo una massa m lanciata con velocita’ V₀ su di un piano dove è presente attrito

Vogliamo calcolare quanto spazio percorre la massa m prima di fermarsi. Sappiamo gia’ risolvere questo problema utilizzando la dinamica e la cinematica, vogliamo ora farlo tramite considerazioni energetiche. In pratica vogliamo applicare il teorema del lavoro e dell’energia cinetica.

Iniziamo con il valutare il lavoro compiuto dalle forze. Le forze che agiscono sulla massa m sono R_n , P e A_d

Lavoro della forza peso P

L_P = 0 perche’ P e spostamento S sono perpendicolari

Lavoro della reazione normale R_n

L_Rn = 0 sempre perche’ R_n e’ normale allo spostamento

Lavoro della forza di attrito A_d

$\displaystyle{\mathbf{L_{Ad}=\int_{1}^{2}\overrightarrow{A}_d\cdot d\overrightarrow{S}=A_dS\cos\pi=-A_dS}}$

1 e 2 sono le posizioni iniziale e finale. A_d e’ sempre opposto allo spostamento ed e’ costante. Il lavoro di A_d e’ negativo. La forza di attrito non produce moto, si oppone sempre al moto.

Al posto di A_d mettiamo la sua espressione A_d = μ_dR_n = μ_dP dato che P = R_n per vederlo basta applicare il secondo principio della dinamica, alla massa m, lungo la normale al moto (sono cose che abbiamo gia’ fatto mille volte)

L_Ad = – μ_d P S = – μ_d m g S

Lavoro totale

L_tot = L_P + L_Rn + L_Ad = – μ_d m g S

Il lavoro risulta negativo, infatti per frenare un oggetto la forza deve essere opposta al moto. Per calcolare S mettiamo in relazione il lavoro con la variazione di energia cinetica ΔE_c

Energia cinetica iniziale

$\displaystyle{\mathbf{E_{c1}=\frac{1}{2}mV_0^2}}$ .

Energia cinetica finale

E_c2 = 0 alla fine la massa m e’ ferma quindi la sua energia cinetica e’ nulla

Variazione di energia cinetica

$\displaystyle{\mathbf{\Delta E_c=E_{c2}-E_{c1}=0-\frac{1}{2}mV_0^2=-\frac{1}{2}mV_0^2}}$ .

Il teorema del lavoro e dell’energia cinetica ci dice che

L_tot = ΔE_c sostituiamo le espressioni trovate

$\displaystyle{\mathbf{-\mu_dmgs=-\,\frac{mV_0^2}{2}\hspace{0,4cm}\Longrightarrow s=\frac{V_0^2}{2\mu_dg}}}$

La distanza percorsa e’ legata alla velocita’ con cui parte la massa m e all’attrito dinamico.

C’e’ da notare un fattore importante, la variabile tempo non c’e’ piu’. Con l’approccio energetico semplifichiamo la soluzione del problema, pero’ perdiamo la variabile tempo. Se ci viene richiesta, dobbiamo di nuovo ricorrere alla cinematica.

Vediamo, nella prossima lezione, un altro esempio di uso dell’energia cinetica applicato questa volta ad un piano inclinato.

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Energia cinetica esempio piano con attrito

Prossima lezione Energia cinetica esempio con piano inclinato