Moto rettilineo

Il moto rettilineo è un moto molto semplice che si svolge lungo una retta, ad esempio l’asse x. Per questa caratteristica non abbiamo bisogno di vettori e di versori perche’ sta’ tutto su di un asse, quindi le grandezze cinematiche possiamo rappresentarle semplicemente con

x(t) per lo spostamento

v(t) per la velocita’

a(t) per l’accelerazione

Consideriamo allora un punto materiale che si muove lungo l’asse x e che assume nei vari istanti diverse posizioni

Il punto materiale parte dalla posizione x₀ al tempo t = 0 s e si sposta assumendo nel tempo le varie posizioni x₁, x₂ …. Possiamo visualizzare in un grafico come varia x in funzione del tempo

Costruiamo ora il grafico di v(t), sapendo che $\displaystyle{\mathbf{v(t)=\frac{dx(t)}{dt}}}$

Notiamo ora che

$\displaystyle{\mathbf{v(t)=\frac{dx(t)}{dt}}}$

separiamo le variabili

V(t) dt = dx

e integriamo

$\displaystyle{\mathbf{\int_{t_0}^{t}v(t) \,dt = \int_{x_0}^{x}\,dx}}$

Il primo integrale ha come estremi di integrazione il tempo iniziale t₀ e il tempo t generico, il secondo ha x₀ come estremo inferiore che e’ la posizione che corrisponde a t₀ e come estremo superiore la posizione x che corrisponde al tempo t

$\displaystyle{\mathbf{\int_{t_0}^{t}v(t) \,dt = x - x_0}}$

L’integrale della velocita’ e uguale allo spazio percorso. Questo lo sapevamo gia’, la novita’ e’ che l’integrale della velocita’, geometricamente, e’ l’area sottesa dalla curva, quindi quell’area corrisponde allo spazio percorso.

L’area segnata corrisponde a x – x₀ = Δx

Vediamo un primo caso particolare di moto rettilineo, ossia quello uniforme.

Moto rettilineo uniforme

E’ sempre un moto lungo un asse, ma esso viene percorso a velocita’ costante, quindi gli spazi percorsi a parita’ di tempo sono sempre gli stessi.

Spazi uguali in tempi uguali. In pratica vuol dire che la velocita’ e’ costante. Partiamo allora da questo dato

$\displaystyle{\mathbf{v(t) = \frac{dx}{dt} = v_0}}$

Ricordiamo che il pedice ₀ sta’ ad indicare che la grandezza e’ costante. Allora

$\displaystyle{\mathbf{a(t) = \frac{dv}{dt} =0}}$

Perche’ la derivata di una costante e’ zero. L’accelerazione e’ nulla.

Per avere, invece, lo spazio percorso debbo integrare la velocita’, facciamo tutti i passaggi

$\displaystyle{\mathbf{v(t) = \frac{dx}{dt} = v_0 \Longrightarrow v_0 dt = dx}}$

Ora integriamo

$\displaystyle{\mathbf{\int_{t_0}^{t}v_0\,dt = \int_{x_0}^{x}\,dx\Longrightarrow v_0\int_{t_0}^{t}\,dt = \int_{x_0}^{x}\,dx}}$

V₀ (t – t₀) = x – x₀

o meglio

X(t) = X₀ + V₀(t – t₀) visto che x dipende dal tempo.

Come prima vediamo il risvolto geometrico

L’area V₀ (t – t₀) e’ pari allo spostamento t = t₀.

Vediamo ora il caso in cui la velocita’ non e’ costante. Prossima lezione Moto rettilineo uniformemente accelerato