Potenziale elettrostatico carica puntiforme

Iniziamo il calcolo del potenziale elettrostatico con il caso di una carica puntiforme.

Prendiamo una carica +Q e poniamola in un punto dello spazio.

Sappiamo che essa genera un campo elettrico attorno a se le cui linee di forza sono radiali.

Scegliamo un punto A nel campo E, la sua distanza dalla sorgente +Q la chiamiamo r_A.

Vogliamo calcolare la differenza di potenziale tra il punto A ed un altro punto che chiamiamo B.

La distanza di B dalla sorgente è r_B. Dobbiamo scegliere un percorso che porta da A a B, esso può esse qualunque perchè il campo elettrostatico è conservativo.

$\displaystyle{\mathbf{V(A)-V(B)=\int_A^B \overrightarrow{\mathbf{E}}\,\cdot d\overrightarrow{\mathbf{s}}}}$

Se vi siete già persi tornate al Potenziale elettrostatico

Questo è un integrale di linea, lungo la linea scelta, non su di un percorso chiuso (non torniamo in A) quindi non è nullo.

Come percorso ne scegliamo uno che ci rende semplici i calcoli.

Il nostro percorso va da A a B’ e da B’ aB.

Si compone di due tratti , il primo A B’ è radiale, il secondo B’ B è circonferenziale, avviene lungo un arco di circonferenza.

La distanza di B’ dalla sorgente +Q è, ovviamente r_B(visto che B’B è un arco di circonferenza).

Per la differenza di potenziale tra i punti A e B possiamo allora scrivere

$\displaystyle{\mathbf{V(A)-V(B)=\int_a^{B'}\overrightarrow{\mathbf{E}}_1\,\cdot d\overrightarrow{\mathbf{r}}+\int_{B'}^A \overrightarrow{\mathbf{E}}_2\,\cdot d\overrightarrow{\mathbf{s}}}}$

Iniziamo a studiare il secondo percorso, quello da B’ a B, il ds è un archetto di circonferenza mentre il campo elettrico E è radiale (va come il raggio). Quindi E e ds sono ortogonali e il loro prodotto scalare, essendo dato dal modulo del primo vettore per il modulo del secondo moltiplicati per il coseno del loro angolo, risulta nullo. (cos 90^o= 0). Il secondo integrale è nullo, ce lo siamo tolto di torno.

Con questa posizione

$\displaystyle{\mathbf{V(A)-V(B)=\int_A^{B'}\overrightarrow{\mathbf{E}}_1\,\cdot d\overrightarrow{\mathbf{r}}}}$

Da A a B’ ds e E sono entrambi radiali, sono due vettori paralleli ed il prodotto scalare è massimo (cos0^o= 1).

$\displaystyle{\mathbf{V(A)-V(B)=\int_{r_A}^{r_B}E_1\, dr}}$

Al posto del campo elettrico mettiamo la sua espressione

$\displaystyle{\mathbf{V(A)-V(B)=\int_{r_A}^{r_B}\frac{Q}{4\pi\epsilon_o r^2}\, dr=\frac{Q}{4\pi\epsilon_o}\int_{r_A}^{r_B}\frac{dr}{r}=\frac{Q}{4\pi\epsilon_o}\Bigl [-\,\frac{1}{r}\Bigr]_{r_A}^{r_B}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{V(A)-V(B)=\frac{Q}{4\pi\epsilon_o r_A}\, -\,\frac{Q}{4\pi\epsilon_o r_B}}}$

V(A)-V(B) risulta essere la differenza di due parti simili. Questo ci porta a pensare che il primo termine è proprio V(A) e il secondo V(B). Possiamo allora definire, invece della differenza di potenziale, il potenziale in un punto. Proprio come abbiamo già fatto per l’ Energia potenziale in meccanica.

Fissiamo allora un punto dello spazio nel quale il potenziale è nullo. Questo lo chiamiamo punto di riferimento P_rife lo poniamo all’infinito, dove non si sentono più le azioni del campo elettrico. Questa è una scelta, vedremo che non è l’unica.

Per cercare il potenziale assoluto in un punto P, operiamo come prima, solo che adesso il calcolo lo facciamo tra il punto P di osservazione scelto e quello di riferimento P_rif

$\displaystyle{\mathbf{V(P)-V(P_{rif})=\int_P^{P_{rif}}\overrightarrow{\mathbf{E}}\,\cdot d\overrightarrow{\mathbf{s}}=\frac{Q}{4\pi\epsilon_o r}\, -\, \frac{Q}{4\pi\epsilon_o r_{rif}}}}$

Se il riferimento è all’infinito il secondo termine va a zeo, quindi anche V(P_rif), lì il potenziale è nullo.

Risulta allora

$\displaystyle{\mathbf{V(P)=\frac{Q}{4\pi\epsilon_o\, r}}}$

La scelta fatta per il punto di riferimento ci ha portato al potenziale assoluto in un punto P.

Diamo uno sguardo alle relazioni del potenziale e del campo elettrico

$\displaystyle{\mathbf{E(P)=\frac{Q}{4\pi\epsilon_o\, r^2}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{V(P)=\frac{Q}{4\pi\epsilon_o\, r}}}$

Ci sono due grosse differenze :

-La dipendenza dal raggio, il campo elettrico diminuisce con il quadrato di r, il potenziale diminuisce con r.

-V è uno scalare, E è un vettore.

Per il campo elettrico dobbiamo dare, oltre al modulo, anche la sua direzione e il suo verso.

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{E}}(P)=\frac{Q}{4\pi\epsilon_o }\,\frac{\overrightarrow{\mathbf{r}}}{r^3}}}$

Superfici equipotenziali

Le superfici equipotenziali (quelle in rosso) sono i luoghi geometrici di tutti i punti che hanno uguale potenziale. Sono tutti i punti di stesso raggio r, quindi sono superfici sferiche.

I valori inseriti per il potenziale sono solo indicativi, servono a far vedere che, mano a mano che ci avviciniamo alla carica sorgente, il potenziale aumenta di valore.

Notare che sulla carica +Q , sorgente, abbiamo una singolarità. In quel punto r→0

e V → ∞

Le linee del campo elettrico E sono ortogonali alle superfici equipotenziali.

Quanto detto prescinde dalla presenza di una carica q nel campo generato dalla sorgente +Q, questo perchè campo elettrico e potenziale sono caratteristiche della sorgente.

Se poniamo una carica nel campo E, ad esempio +q, avremo nuove superfici, quelle dell’energia potenziale, questa volta quotate in Joule.

$\displaystyle{\mathbf{U=qV=\frac{qQ}{4\pi\epsilon_o\, r}}}$