Energia elettrostatica e momento di un dipolo

Studiamo l’energia elettrostatica e il momento di un dipolo elettrico.

Svariate lezioni passate, abbiamo visto il campo elettrico E generato da un dipolo elettrico (lo trovate qui), vogliamo ora studiare cosa subisce un dipolo quando si trova in un campo elettrico esterno, ossia generato da altre cariche.

Consideriamo un campo elettrico e le sue superfici equipotenziali. Ricordiamo che tali superfici sono sempre perpendicolari al campo elettrico, infatti E = -gradV e il gradiente ruota di 90^o.

Vogliamo costruire un dipolo in questo campo preesistente.

Un dipolo è formato da una carica positiva +q e da una negativa -q.

Iniziamo a portare la carica +q dall’infinito fino al punto A. Il punto A si trova sulla superficie equipotenziale V_A, ossia V_Aè il valore del potenziale di quella superficie.

Per fare questo sposamento dobbiamo compiere un lavoro e il sistema acquista l’energia potenziale

$\displaystyle{\mathbf{U_{el}=+qV_A}}$

Spostiamo ora la carica negativa, -q, dall’infinito fino al punto B che si trova sulla superficie equipotenziale V_B.

L’energia necessaria per questo spostamento sarà

$\displaystyle{\mathbf{U_{el}=-qV_B}}$

L’energia è diventata

$\displaystyle{\mathbf{U_{el}=+qV_A-qV_B}}$

Attenzione : abbiamo portato le due cariche in due tempi diversi, lo abbiamo fatto per capire in maniera semplice il livello di energia elettrostatica. In realtà, un dipolo è una struttura fissa nel quale le cariche si trovano a distanza δ. Questo δ è un segmento orientato che va dalla carica negativa a quella positiva (è un vettore).

Quando andiamo a posizionare la carica -q, dovremmo tenere conto anche del campo che, nel frattempo, ha generato +q. Questa energia non la consideriamo perchè è quella di formazione del dipolo (è l’energia che serve per formare un dipolo).

Per ora tralasciamo tutto questo perchè stiamo studiando l’energia del dipolo rispetto all’esterno.

Torniamo alla relazione dell’energia e mattiamo in evidenza q

$\displaystyle{\mathbf{U_{el}=q(V_A-V_B)}}$

Possiamo farlo perchè il dipolo è una struttura a carica netta nulla, in parole povere il modulo delle due cariche è uguale.

Vogliamo scrivere la differenza di potenziale V_A– V_Bin un modo diverso.

Orientiamo un asse delle x lungo l’asse δ del dipolo. Così facendo la carica negativa si trova in x = 0 e la positiva in x = δ.

V_Ae V_Bsono ora potenziali che si trovano lungo l’asse x.

Vi ricordate che qualunque funzione può essere linearizzata con Taylor ?

$\displaystyle{\mathbf{V(x)=V(0)+\frac{\partial V}{\partial x}\, (x-0) + \cdot\cdots}}$

I termini successivi dello sviluppo non li consideriamo, risultano molto piccoli se lo è δ. Arrestiamo lo sviluppo al primo ordine.

Dobbiamo notare che

$\displaystyle{\mathbf{V(x)=V_A}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{V(0)=V_B}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{\delta =x-0}}$

Quindi si ha

$\displaystyle{\mathbf{V_A=V_B+\frac{\partial V}{\partial x}\, \delta }}$ .

$\displaystyle{\mathbf{V_A-V_B=\frac{\partial V}{\partial x}\, \delta }}$

Sostituiamo nell’energia elettrostatica

$\displaystyle{\mathbf{U_{el}=q(V_A-V_B)=q\,\frac{\partial V}{\partial x}\, \delta }}$

Dobbiamo ricordarci un’altra cosa

$\displaystyle{\mathbf{\begin{cases}\mathbf{E=-gradV}\\ \mathbf{E_x=-\frac{\partial V}{\partial x}}\end{cases}}}$

Da cui

$\displaystyle{\mathbf{U_{el}=-q\,\delta\, E_x}}$

Il prodotto q δ , carica per la distanza, è detto momento del dipolo. Lo indichiamo con la lettera p.

Avete un vago ricordo che il momento di una forza è la forza per il braccio ? Che il momento della quantità di moto è la quantità di moto per una distanza ?

Il momento del dipolo è la carica per la distanza δ della carica negativa da quella positiva.

$\displaystyle{\mathbf{U_{el}=-p\, E_x}}$

Non abbiamo ancora finito. Il momento del dipolo è un vettore, lo è in quanto δ è un segmento orientato. Dobbiamo scoprire chi è E_x

E_xè la proiezione di E lungo l’asse x.

$\displaystyle{\mathbf{E_x=E\cos\theta}}$

Sostituiamo nell’energia

$\displaystyle{\mathbf{U_{el}=-p\, E\cos\theta}}$

Allora, a parte il segno meno, l’energia elettrostatica è il prodotto scalare del momento del dipolo e il vettore campo elettrico.

$\displaystyle{\mathbf{U_{el}=-\overrightarrow{\mathbf{p}}\cdot\overrightarrow{\mathbf{E}}}}$

Dove

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{p}}=q\overrightarrow{\mathbf{\delta}}}}$

Finalmente siamo in grado di capire succede al dipolo quando è immerso in un campo elettrico, quali azioni avvengono su di esso.

Dobbiamo prima puntualizzare che, per noi, un dipolo è un sistema rigido. La distanza δ tra le due cariche non può variare., può cambiare solo la sua inclinazione, ossia l’angolo θ.

Se il momento del dipolo, p, è fisso, se il campo E è costante, l’energia elettrostatica

$\displaystyle{\mathbf{U_{el}=-p\, E\cos\theta}}$

può variare solo con l’angolo θ.

Questo è il profilo dell’energia elettrostatica al variare dell’angolo θ.

E’ una funzione coseno, girata (c’è il segno meno), che vale zero in – π/2 e in π/2 e -pE in zero, pE in π.

Nel disegno di prima, del dipolo, l’angolo θ vale un pò meno di π/2. Il livello di energia sarà allora quello del disegno qui sotto

La pallina in verde è il valore energetico.

Se ricordiamo che i livelli evolvono verso situazione energetiche che sono le più basse possibili, vidiamo che questa situazione non è stabile.

Per diminuira la propria energia, il dipolo deve diminuire l’angolo θ fino a portarsi in una situazione di equilibrio stabile, dove la sua energia vale – pE.

Questa è la situazione di equilibrio stabile

Per quanto riguarda le forze, la carica +q tende ad andare verso destra, come la linea del campo E, mentre la carica negativa -q tende ad andare verso sinistra. Si hanno allora due forze uguali ed opposte. Il dipolo è in tensione, ma rimane fermo lì.

Cosa accade se rovesciamo il dipolo ?

Questa volta l’angolo tra p ed E vale π, ci domandiamo se anche questa è una posizione di equilibrio.

Si, lo è, ma non stabile. Se ricordate che la forza è legata alla derivata dell’energia elettrostatica, vedete allora che essa è nulla anche nei punti di massimo.

Se però spostiamo, anche di poco il sistema, esso evolve per tornare al valore di minima energia.

Anche in questo caso le forze che agiscono sono uguali ed opposte.

Cerchiamo, ora, l’epressione per la forza che agisce sul dipolo. Essa è legata al gradiente dell’energia elettrostatica.

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{F}}=-\nabla U_{el}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{U_{el}=-\overrightarrow{\mathbf{p}}\cdot\overrightarrow{\mathbf{E}}}}$

Sostituiamo l’espressione di sotto in quella sopra

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{F}}=-\nabla (-\overrightarrow{\mathbf{p}}\cdot\overrightarrow{\mathbf{E}})}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{F}}=\nabla (\overrightarrow{\mathbf{p}}\cdot\overrightarrow{\mathbf{E}})}}$

Questo è il modo per calcolare la forza.

Lo studio del dipolo continua nella prossima lezione Azioni su un dipolo elettrico

dove troverete anche un esempio di calcolo della forza.