Prima equazione di Maxwell divergenza

In questa lezione ricaveremo la prima equazione di Maxwell introducendo anche i concetti di divergenza e operatore nabla ∇.

Consideriamo un volume di spazio τ contenente della carica elettrica. Indichiamo con Σ la superficie che racchiude il volume τ.

Vogliamo valutare il flusso uscente dalla superficie Σ.

Per far questo consideriamo il vettore campo elettrico E, la normale alla superficie n e la superficie elementare dS.

Sappiamo che il flusso del vettore E è dato da

$\displaystyle{\mathbf{\Phi_{\Sigma}(\overrightarrow{\mathbf{E}})=\int_{\Sigma} \overrightarrow{\mathbf{E}}\cdot\hat{n}\, dS}}$

Prima di andare avanti dobbiamo aprire una parentesi e parlare del teorema della divergenza.

Flusso di un vettore e teorema della divergenza

Se consideriamo un elemento di superficie dS in un campo vettoriale A ( stiamo esaminando un caso generale, di un campo vettoriale qualunque) e orientiamo la normale n alla superficie, si definisce flusso attraverso dS

$\displaystyle{\mathbf{d\Phi(\overrightarrow{\mathbf{A}})=\overrightarrow{\mathbf{A}}\cdot\hat{n} \, dS}}$

Per una superficie finita

$\displaystyle{\mathbf{\Phi_S (\overrightarrow{\mathbf{A}})=\int_S\overrightarrow{\mathbf{A}}\cdot\hat{n} \, dS}}$

Il teorema della divergenza afferma che se le componenti del vettore A sono continue e derivabili e se la superficie S è chiusa, allora per il flusso uscente si ha

$\displaystyle{\mathbf{\Phi_S (\overrightarrow{\mathbf{A}})=\int_S\overrightarrow{\mathbf{A}}\cdot\hat{n} \, dS=\int_{\tau} div\overrightarrow{\mathbf{A}}\, d\tau }}$

Dove τ è il volume racchiuso dalla superficie S. In pratica un integrale superficiale di un vettore (attraverso una superficie chiusa) è equivalente ad un integrale nel suo volume.

Torniamo al nostro caso dove il vettore è il campo elettrico E e la superficie è Σ

$\displaystyle{\mathbf{\int_{\Sigma}\overrightarrow{\mathbf{E}}\cdot\hat{n} \, dS=\int_{\tau} div\overrightarrow{\mathbf{E}}\, d\tau }}$

Ora applichiamo la legge di Gauss

$\displaystyle{\mathbf{\int_{\Sigma}\overrightarrow{\mathbf{E}}\cdot\hat{n} \, dS=\int_{\tau} div\overrightarrow{\mathbf{E}}\, d\tau =\frac{q_{int}}{\epsilon_o}}}$

Valutiamo la carica q_int interna alla superficie. Partiamo dalla distribuzione volumetrica di carica ρ

$\displaystyle{\mathbf{d\rho=\frac{dq}{d\tau}\,\Longrightarrow\, dq=\rho\,d\tau}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{q_{int}=\int_{\tau}\rho\, d\tau}}$

Sostituiamo

$\displaystyle{\mathbf{\int_{\tau}div\overrightarrow{\mathbf{E}}\, d\tau =\int_{\tau}\frac{\rho}{\epsilon_o}\, d\tau}}$

Prima di andare avanti cerchiamo di capire la divergenza di un vettore, divE lo possiamo vedere come il prodotto scalare tra l’operatore nabla ∇ e il vettore E

$\displaystyle{\mathbf{div\overrightarrow{\mathbf{E}}=\nabla\cdot\overrightarrow{\mathbf{E}}}}$

L’operatore nabla ∇ è un operatore differenziale che può essere applicato sia a grandezze scalari che a grandezze vettoriali e può entrare in prodotti scalari e in prodotti vettoriali. Indicando con A la grandezza su cui opera, si ha

$\displaystyle{\mathbf{\nabla A=\Biggl(\frac{\partial }{\partial x}\, A\Biggr )\hat{i}+\Biggl(\frac{\partial }{\partial y}\, A\Biggr )\hat{j}+\Biggl(\frac{\partial }{\partial z}\, A\Biggr )\hat{k}}}$

Per poter applicare l’operatore nabla ∇ al vettore campo elettrico E, questo va scomposto nelle sue componenti lungo x, y e z.

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{E}}=E_x\, \hat{i}+E_y\,\hat{j}+E_z\,\hat{k}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{div\overrightarrow{\mathbf{E}}=\nabla\cdot\overrightarrow{\mathbf{E}}=\Biggl (\frac{\partial}{\partial x}\,\hat{i}+\frac{\partial}{\partial y}\,\hat{j}+\frac{\partial}{\partial z}\,\hat{k}\Biggr )\cdot\Biggl (E_x\,\hat{i}+E_y\,\hat{j}+E_z\,\hat{k}\Biggr )}}$

Andando a svolgere i vari prodotti scalari ci restano solo tre componenti, quelle dovute ai termini omologhi perchè

$\displaystyle{\mathbf{\hat{i}\perp\hat{j}\,\qquad\,\hat{j}\perp\hat{k}\,\qquad\,\hat{i}\perp\hat{k}}}$

e nel prodotto scalare

$\displaystyle{\mathbf{\hat{i}\cdot\hat{j}=0\,\qquad\,\hat{j}\cdot\hat{k}=0\,\qquad\,\hat{i}\cdot\hat{k}=0}}$

mentre

$\displaystyle{\mathbf{\hat{i}\cdot\hat{i}=1\,\qquad\,\hat{j}\cdot\hat{j}=1\,\qquad\,\hat{k}\cdot\hat{k}=1}}$

da cui

$\displaystyle{\mathbf{div\overrightarrow{\mathbf{E}}=\nabla\cdot\overrightarrow{\mathbf{E}}=\frac{\partial E_x}{\partial x}+\frac{\partial E_y}{\partial y}+\frac{\partial E_z}{\partial z}}}$

Questo è l’operatore divergenza.

Torniamo all’espressione abbandonata poco fa

$\displaystyle{\mathbf{\int_{\tau}div\overrightarrow{\mathbf{E}}\, d\tau =\int_{\tau}\frac{\rho}{\epsilon_o}\, d\tau}}$

Se due integrali sono uguali, non è detto che lo sono anche le funzioni integrande. Però, se i due integrali sono uguali qualunque sia il dominio di integrazione τ, allora lo sono anche le funzioni.

$\displaystyle{\mathbf{div\overrightarrow{\mathbf{E}}=\frac{\rho}{\epsilon_o}}}$

Questa è la prima equazione di Maxwell.

Ricapitoliamo :

siamo partiti dalla legge di Gauss

$\displaystyle{\mathbf{\Phi_{\Sigma}(\overrightarrow{\mathbf{E}})=\int_S \overrightarrow{\mathbf{E}}\cdot\hat{n}\, dS}}$

Abbiamo applicato il teorema della divergenza, portando il dominio bidimensionale a dominio tridimensionale.

$\displaystyle{\mathbf{\int_S \overrightarrow{\mathbf{E}}\cdot\hat{n}\, dS=\int_{\tau}div\overrightarrow{\mathbf{E}}\, d\tau}}$

Uguagliando i due integrali abbiamo trovato la prima equazione di Maxwell spiegando anche l’operarore divergenza.

$\displaystyle{\mathbf{div\overrightarrow{\mathbf{E}}=\nabla\cdot\overrightarrow{\mathbf{E}}=\frac{\partial E_x}{\partial x}+\frac{\partial E_y}{\partial y}+\frac{\partial E_z}{\partial z}=\frac{\rho}{\epsilon_o}}}$

Confrontiamo le due espressioni

$\displaystyle{\mathbf{\Phi_{\Sigma}(\overrightarrow{\mathbf{E}})=\frac{q_{int}}{\epsilon_o}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{div\overrightarrow{\mathbf{E}}=\nabla\cdot\overrightarrow{\mathbf{E}}=\frac{\rho}{\epsilon_o}}}$

Vediamo che da flusso si passa a divergenza e da carica a densità di carica. Inoltre, la legge di Gauss è un’espressione integrale che opera attraverso integrali, mentre la prima equazione di Maxwell è un’espressione differenziale che opera con derivate.