Forze sui circuiti in un campo magnetico non uniforme

Abbiamo già studiato cosa succede nel caso di campo magnetico uniforme .Passiamo ora alle forze sui circuiti in un campo magnetico non uniforme.

Come campo magnetico prendiamo quello generato da un filo percorso da corrente. A distanza a da esso poniamo una spira rettangolare di lati d e L.

Vogliamo studiare le forze magnetiche che si sviluppano sulla spira immersa nel campo magnetico generato dal filo percorso dalla corrente I₁ . Questo campo risulta non uniforme. E’ più intenso vicino al filo e va diminuendo mano a mano che ci allontaniamo da esso.

$\displaystyle{\mathbf{B=\frac{\mu_o}{2\pi}\,\frac{I_1}{d}}}$

Questo è il campo a distanza d dal filo (Legge di Biot e Savart).

I due tratti di spira AD e BC sentono campi magnetici diversi e questo crea uno squilibrio di forze.

Diamo un verso alla corrente nella spira

Chiamiamo I₂la corrente nella spira. Dobbiamo ricordarci la forza con la quale si attraggono o si respingono due fili percorsi da corrente e posti a distanza d

$\displaystyle{\mathbf{F=\frac{\mu_o}{2\pi}\,\frac{I_1I_2}{d}\, L}}$

Studiamo separatamente i vari tratti di cui si compone la spira.

Tratto DA

Le correnti I₁ e I₂sono equiversi, quindi il tratto DA subisce una forza di attrazione

$\displaystyle{\mathbf{F_{DA}=\frac{\mu_o}{2\pi}\,\frac{I_1I_2}{a}\, L}}$

a è la distanza tra il filo e il tratto in considerazione, L è la lunghezza di DA.

Tratto BC

Ora le correnti I₁ e I₂hanno versi opposti e la forza risulta repulsiva

$\displaystyle{\mathbf{F_{BC}=\frac{\mu_o}{2\pi}\,\frac{I_1I_2}{a+b}\, L}}$

a+b è la distanza tra il filo e il tratto BC

Sul tratto BC la forza è minore che su quello DA. La forza attrattiva è maggiore di quella repulsiva.

Tratti AB e CD

La distribuzione del campo magnetico su questi due tratti è la stessa. Le due forze risultano uguali ed opposte. Si compensano.

Se la spira è rigida queste due forze non hanno un effetto complessivo. Per ora ce ne disinteressiamo.

Forza totale che agisce sulla spira.

Assumendo come positive le forze di tipo attrattivo e negative quelle repulsive, per la forza totale risulta :

$\displaystyle{\mathbf{F=F_{DA}-F_{BC}=\frac{\mu_o I_1I_2 L}{2\pi}\, \Biggl (\frac{1}{a}-\frac{1}{a+b}\Biggr )}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{F=\frac{\mu_o I_1I_2 L}{2\pi}\,\frac{b}{a(a+b)}}}$

La forza totale risulta attrattiva.