Accelerazione di gravita’ e forza centrifuga

Consideriamo una massa m sulla superficie terrestre. Dato che la terra ruota, anche la nostra massa m ruota e lo fa’ descrivendo una circonferenza. Il raggio di questa circonferenza non e’ il raggio terrestre, ma dipende da dove sta’ la massa, in quale parallelo

La massa m e’ soggetta alla forza peso P = mg, che e’ diretta verso il centro della terra, e alla forza centrifuga F_c = m ω² r e, ribadiamo che r e’ il raggio della circonferenza che descriva la massa m, il raggio del parallelo su cui si trova.

Sommiamo vettorialmente queste due forze P e F_c

La risultante che otteniamo, la mg’, e’ la forza peso effettiva, quella corretta con la forza centrifuga. Quello che vogliamo e’ trovare questa g’. Abbiamo capito che g’ dipende dalla correzione apportata dalla forza centrifuga che a sua volta dipende dalla latitudune perche’ dipende da r.

Chiamiamo L l’angolo formato dal raggio terrestre R rispetto all’equatore, per capirci se L = 0⁰ siamo all’equatore, se L = 90⁰ siamo al polo. Questo angolo L e’ quella che viene chiamata latitudine. Il raggio r del parallelo che ci interessa e’ legato al raggio R terrestre

r = RcosL r e’ una frazione di R

Per capirci meglio prestiamo attenzione al grafico delle sole accelerazioni

L’accelerazione centrifuga a_c = ω² r e’ una quantita’ piuttosto piccola, perche’ ω e’ piccola . Prendiamo il triangolo formato da g, g’ e a_c

Applichiamo il teorema di Pitagora generalizzato a questo triangolo. Il teorema dice che : qualunque lato (nel nostro caso g’) e’ uguale alla radice quadrata del quadrato dell’altro lato (g) piu’ il quadrato dell’altro lato ancora ( ω² r ) meno due volte il prodotto di questi due lati (g e ω² r) moltiplicato per il coseno dell’angolo compreso (L)

$\displaystyle{\mathbf{g'=\sqrt{g^2+(\omega^2r)^2-2g\omega^2 rcosL}}}$ .

Il termine (ω² r)² e’ molto piu’ piccolo degli altri e lo possiamo trascurare

$\displaystyle{\mathbf{g'\simeq\sqrt{g^2-2g\omega^2 rcosL}}}$ .

mettiamo in evidenza g²

$\displaystyle{\mathbf{g'\simeq\sqrt{g^2\left (1-2\,\frac{\omega^2r}{g}\,\cos L\right )}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{g'\simeq g\sqrt{1-2\,\frac{\omega^2r}{g}\,\cos L}}}$ .

Ora dobbiamo ricordare la disuguaglianza di Bernoulli

$\displaystyle{\mathbf{\sqrt{1-\varepsilon}=(1-\varepsilon )^{\frac{1}{2}}=1-\frac{\varepsilon}{2}}}$ .

e applichiamola al nostro caso

$\displaystyle{\mathbf{g'\simeq g\left (1-\frac{2\omega^2 r\cos L}{2g}\right )=g-\omega^2 r\cos L}}$ .

Da questa si vede che g dipende dalla latitudine. Se ora poniamo r = R_T cos L abbiamo :

$\displaystyle{\mathbf{g'\simeq g-\omega^2 R_T\cos^2 L}}$ .

Al polo, dove L e’ 90⁰ g’ ≅ g

Vediamo una tabella che ci da’ il valore di g al livello del mare per varie latitudini

Latitudine	Accelerazione g
0⁰	9,7804
10⁰	9,78017
30⁰	9,7933
50⁰	9,8107
70⁰	9,8261
90⁰	9,8322

Abbiamo visto che g dipende dalla latitudine, un’altra causa di variazione consiste nel fatto che la terra non e’ sferica, ma approssimativamente un ellissoide schiacciato ai poli, quindi la distanza dal centro della terra e’ diverso nei vari punti.

g varia anche con l’altitudine perche’ piu’ ci alziamo dalla superficie del mare (livello zero) e piu’ la forza di attrazione decresce.

g varia anche perche’ la densita’ della terra non e’ costante.

Nella prossima lezione vediamo un esempio pratico con la forza centrifuga, un’auto che affronta una curva, prima piana e poi rialzata.

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Accelerazione di gravita’ e forza centrifuga

Prossima lezione Auto in curva