Moto rettilineo-Moto accelerato

Vogliamo studiare il moto rettilineo quando è presente un’accelerazione. In particolare vedremo il caso in cui l’accelerazione è costante, ossia è sempre la stessa, se vale 3 m/s² questo valore non cambia mai durante tutto il moto.

Partiamo allora da questa asserzione :

$\displaystyle{\mathbf{a=\frac{\Delta v}{\Delta t}=cost.}}$

Se l’accelerazione è costante di conseguenza la velocità varia sempre dello stesso valora in uguali intervalli di tempo. Se in 1 secondo la velocità aumenta di 4 m/s, in 2 secondi aumenterà di 8 m/s. La velocità segue un aumento preciso, costante.

Se l’accelerazione è costante durante tutto il moto ed è positiva, a = cost e a > 0 si dice che il moto è uniformemente accelerato.

La velocità nel tempo può anche diminuire, ad esempio se siamo in macchina e stiamo frenando, in questo caso l’accelerazione è negativa a < 0 , se è anche costante, si dice che il moto è unifirmemente decelerato ( o ritardato ).

Il corpo si sta muovendo di moto accelerato, l’accelerazione ha lo stesso verso dell’asse x che prendiamo come positivo.

Il moto ora è decelerato, il corpo sta frenando e l’accelerazione è diretta nel verso negativo, contrario a quello dell’asse x.

Consideriamo un corpo fermo nel punto o, punto scelto come origine per lo studio che vogliamo fare. Al tempo t = 0, tempo in cui iniziamo la nostra osservazione, inizia a muoversi con accelerazione costante a = 3 m/s²

Se a = cost = 3 m/s² significa che il corpo aumente la sua velocità di 3 m/s per ogni secondo.

Costruiamoci una tabella nella quale ci calcoliamo la velocità in diversi istanti

Per t = 0 s ⇒ V = 0 m/s

Per t = 1 s ⇒ V = 3 m/s

Per t = 2 s ⇒ V = 6 m/s

e così via.

Ora riportiamo questi valori in un grafico dove rappresentiamo la velocità (asse y) in funzione del tempo (asse x)

Il grafico della velocità in funzione del tempo, per un moto uniformemente accelerato, è rappresentato da una retta.

Quando abbiamo introdotto l’accelerazione l’abbiamo definita come la variazione di velocità nel tempo.

$\displaystyle{\mathbf{a=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{v-v_0}{t-t_0}}}$

v₀ e t₀ sono la velocità iniziale e il tempo nel quale iniziamo l’osservazione. v e t sono velocità e istante nel quale terminiamo il nostro studio.

Se come tempo iniziale scegliamo t₀ = 0 e il corpo è inizialmente fermo v₀ = 0 ( in pratica se all’istante iniziale il corpo è fermo ) abbiamo :

$\displaystyle{\mathbf{a=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{v-v_0}{t-t_0}=\frac{v-0}{t-0}=\frac{v}{t}}}$

Quindi

$\displaystyle{\mathbf{a=\frac{v}{t}}}$

Da questa ricaviamo

$\displaystyle{\mathbf{v =a\, t}}$

Questa equazione ci dice come varia la velocità nel tempo.

Se, invece al tempo t₀ = 0, la velocità non è nulla, se il corpo sta passando per l’origine con una velocità v (che chiamiamo v₀ velocità iniziale) quando iniziamo la nostra osservazione, l’equazione è diversa

$\displaystyle{\mathbf{a=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{v-v_0}{t-t_0}=\frac{v-v_0}{t-0}=\frac{v-v_0}{t}}}$

Quindi

$\displaystyle{\mathbf{a=\frac{v-v_0}{t}}}$

Ossia

$\displaystyle{\mathbf{v-v_0=a\, t}}$

Esplicitiamo v

$\displaystyle{\mathbf{v=v_0+a\, t}}$

Questa è la legge della velocità se il corpo è dotato di velocità iniziale al tempo t = 0.

Anche il grafico che riporta l’andamento della velocità rispetto al tempo subisce una piccola variazione.

All’istante t = 0 la velocità non è nulla, ma ha valore v₀. La retta non passa per l’origine.

Vogliamo ora ricavare la legge che ci dice come varia lo spazio nel tempo. Lo facciamo graficamente.

Torniamo un attimo al moto uniforme, quello che avviene a velocità costante. Se disegniamo il grafico della velocità in funzione del tempo otteniamo la figura

Dato che la velocità è sempre la stessa, sarà rappresentata da una retta parallela all’asse dei tempi. Lo spazio percorso è s = v × t quindi è rappresentato dall’area del rettangolo di lati v e t.

Questa proprietà vale per qualunque moto : lo spazio percorso è dato dall’area racchiusa dal diagramma velocità tempo.

Torniamo al caso del moto vario, nel quale la velocità, nel tempo, cambia

v = v₀ + a t

Questa volta l’area tratteggiata è un trapezio le cui basi sono v₀( per t = 0) e v₀ + a t ( al generico istante t), l’altezza è il tempo t e l’area, quindi lo spazio percorso, sarà data da :

$\displaystyle{\mathbf{s=\frac{v_0+(v_0+a\, t)}{2}\, t}}$

Svolgiamo le moltiplicazioni

$\displaystyle{\mathbf{s=\frac{v_0\, t +v_0\, t +a\, t^2}{2}=\frac{2v_0\, t+a\, t^2}{2}=\frac{2\, v_0\, t}{2}+\frac{a\, t^2}{2}=v_0\, t + \frac{1}{2}\, a\, t^2}}$

quindi

$\displaystyle{\mathbf{s=v_0\, t + \frac{1}{2}\, a\, t^2}}$

nel moto vario con accelerazione costante

a = cost

v = v₀ + a t

$\displaystyle{\mathbf{s=v_0\, t + \frac{1}{2}\, a\, t^2}}$

L’accelerazione sarà positiva o negativa a seconda che il corpo sta accelerando o decelerando (frenando).

Prossima lezione Caduta dei gravi

Non ti è chiaro il concetto di accelerazione? Contattataci oppure manda un WhatsApp al numero 3534349746.