Potenziale di una sfera conduttrice

Prima di iniziare lo studio del potenziale di una sfera conduttrice dobbiamo ricordare che nei conduttori la carica si distribuisce sulla superficie. Riportiamo anche i risultati ottenuti sul Campo generato da una distribuzione sferica ottenuti utilizzando il teorema di Gauss.

$\displaystyle{\mathbf{r<R\qquad\qquad E_{int}=0}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{r>R\qquad\qquad E_{est}=\frac{Q_{tot}}{4\pi\epsilon_o\, r^2}}}$

Dentro la sfera il campo è nullo, esternamente il campo elettrico è uguale a quello di una carica puntiforme.

Dobbiamo studiare il potenziale all’interno e all’esterno della sfera conduttrice. Iniziamo con l’esterno.

Fissato il punto P dove vogliamo calcolare il potenziale, dobbiamo scegliere un percorso che porta da P al punto di riferimento. Come P_rif prendiamo il punto dove non si sente più l’azione del campo elettrico, ossia all’infinito. In P_rif assumiamo nullo il potenziale.

$\displaystyle{\mathbf{V_{est}(P)-V(P_{rif})=\int_r^{\infty} E_{est}\, dr}}$

Avendo scelto un percorso radiale (che va come il raggio r), il cammino dr e il campo elettrico E risultano paralleli, non abbiamo più bisogno dei vettori.

Sostituiamo al campo esterno la sua espressione e togliamo il potenziale di riferimento che sappiamo essere nullo.

$\displaystyle{\mathbf{V_{est}(P)=\int_r^{\infty} \frac{Q_{tot}}{4\pi\epsilon_o\, r^2}\, dr= \frac{Q_{tot}}{4\pi\epsilon_o}\int_r^{\infty} \frac{dr}{r^2}=\frac{Q_{tot}}{4\pi\epsilon_o}\Bigl [-\frac{1}{r}\Bigr ]_r^{\infty}=\frac{Q_{tot}}{4\pi\epsilon_o\, r}}}$

Questo è il potenziale all’esterno di una sfera conduttrice. Coincide con quello di una carica puntiforme.

Passiamo al potenziale all’interno della sfera.

Ovviamente, questa volta, il punto P dove vogliamo calcolare il potenziale, si trova dentro la sfera. Siamo nel caso r < R

Come al solito dobbiamo scegliere un percorso che parte dal punto P e arriva all’infinito. Questa volta il percorso si spezza in due, uno è interno alla sfera e uno è esterno. Dobbiamo allora porre

$\displaystyle{\mathbf{V_{int}(P)=\int_r^{\infty} E\, dr=\int_r^R E_{int}\, dr+\int_R^{\infty} E_{est}\, dr}}$

Possiamo semplificarci la vita cambiando il punto di riferimento. Non lo scegliamo all’infinito, ma in un punto dove ne conosciamo esattamente il valore. Questo sarà un punto, che chiamiamo B, di frontiera. Mi spiego, noi conosciamo il potenziale ovunque all’esterno della sfera

$\displaystyle{\mathbf{V_{est}=\frac{Q_{tot}}{4\pi\epsilon_o\, r}}}$

in particolare, nei punti di frontiera, quando r → R

$\displaystyle{\mathbf{V(B)=\frac{Q_{tot}}{4\pi\epsilon_o\, R}}}$

In pratica, invece di calcolare il potenziale della sfera conduttrice nel punto P, troviamo la differenza di potenziale tra il punto di partenza P e il punto di arrivo B.

$\displaystyle{\mathbf{V_{int}(P)-V(B)=\int_r^B E_{int}\, dr}}$

V(B) non è un’incognita, ma un termine noto.

Se dobbiamo calcolare il potenziale in un punto, non è obbligatorio prendere il riferimento all’infinito, ma possiamo utilizzare un punto nel quale il potenziale è noto.

Dato che il campo elettrico all’interno della sfera è nullo avremo

$\displaystyle{\mathbf{V_{int}(P)-V(B)=0}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{V_{int}(P)=V(B)=\frac{Q_{tot}}{4\pi\epsilon_o\, R}}}$

Ricapitoliamo il tutto

$\displaystyle{\mathbf{r<R\qquad\qquad E_{int}=0\qquad\qquad V_{int}=\frac{Q_{tot}}{4\pi\epsilon_o\, R}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{r>R\qquad\qquad\ E_{est}=\frac{Q_{tot}}{4\pi\epsilon_o\, r^2}\qquad\qquad V_{est}=\frac{Q_{tot}}{4\pi\epsilon_o\, r}}}$

Notiamo che il potenziale interno alla sfera conduttrice è costante (i suoi termini sono tutti costanti). Il potenziale esterno è, invece, variabile, diminuisce con la distanza r dal centro della sfera e lo fa con l’andamento di un’iperbole.

Il potenziale esterno è costante

Il potenziale interno diminuisce all’aumentare di r

Come vedete non dovete pensare che se all’interno della sfera non c’è campo elettrico anche il potenziale è nullo, non è affatto vero.

E’ facilmente comprensibile il concetto contrario, ossia se V è costante allora E è nullo, perchè il campo E è la derivata del potenziale. La derivata di una costante è zero. Il contrario non è immediato da comprendere, diciamo che quel valore costante del potenziale, quando E è nullo, è proprio la famosa costante arbitraria di integrazione.