Oscillazioni libere in orizzontale

Per lo studio delle oscillazioni libere in orizzontale partiamo da una molla attaccata ad una parete ed una massa collegata alla molla

Siamo nella posizione di equilibrio e conveniamo di assumere l’origine X = 0 dove e’ posizionata la molla, in tal modo il ΔL che avremo nell’allungare la molla, sara’ semplicemente ΔL = ΔX = X – 0 = X. Cosi’ l’allungamento e’ X. Spostiamo la molla verso destra.

In figura abbiamo chiamato la forza elastica F_el .

Attenzione : se allungo la molla, X e’ > 0, ma la forza elastica e’ < 0 perche’ e’ nel verso opposto a X, tende a riportare la massa indietro. Se comprimiamo la molla F_el e’ positiva visto che tende ad riallungare la molla, mentre X e’ < 0 perche’ siamo a sinistra di X = 0. In ogni caso, quindi, applicando la legge di Hooke avremo

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{F_{el}}=-kx\hat{\imath}\hspace{2cm}}}$ .

Questa formula e’ valida sia per l’estensione che per la compressione. Ora la proiettiamo lungo l’asse X : F_el = – K X

Per scoprire cosa succede alla nostra massa applichiamole il secondo principio della dinamica

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{P}+\overrightarrow{R}_n+\overrightarrow{F}_{el}=m\overrightarrow{a}}}$ .

Stiamo, per ora, considerando il caso privo di attrito. Proiettiamo l’equazione vettoriale lungo gli assi X e Y

asse Y : P = Rn

asse X : F_elx= ma_xLa componente della forza elastica lungo x e’ sempre F_el visto che si esplica tutta lungo X ed e’ pari a :

F_el = – K X abbiamo applicato la legge di Hooke.

Abbiamo allora che :

– K X = ma_x esprimiamo ora l’accelerazione come derivata seconda dello spazio

$\displaystyle{\mathbf{-kx=m\frac{d^2x}{dt^2}}}$ .

C’e’ da notare che X e’ una funzione del tempo, infatti se allontano la molla dalla posizione di equilibrio e la lascio andare, questa inizia ad oscillare e la X varia al variare del tempo. In tal caso quella e’ un’equazione dove l’incognita X appare sia come funzione che come derivata, quella e’ un’equazione differenziale. Dobbiamo affrontare lo studio di una equazione differenziale, facciamolo per gradi spiegando ogni passaggio. Si intravede che lo studio delle oscillazioni è piuttosto complesso. Iniziamo scrivendocela meglio :

$\displaystyle{\mathbf{m\frac{d^2x}{dt^2}+kx=0}}$ .

Ora dividiamo tutto per la massa m e otteniamo la forma in cui siamo abituati a vedere questo tipo di equazioni

$\displaystyle{\mathbf{\frac{d^2x}{dt^2}+\frac{k}{m}x=0}}$ .

Cerchiamo ora di capire di che tipo di equazione differenziale si tratta. Vediamo subito che e’ lineare, perche’ la X compare alla prima potenza cosi’ come la sua derivata, inoltre non ci sono logaritmi, sin, cos, …. Poi vediamo che e’ del secondo ordine, perche’ 2 e’ il massimo ordine delle sue derivate. E’ a coefficienti costanti, perche’ tali sono K e m. Infine, dato che e’ uguale a zero vuol dire che e’ omogenea. Possiamo allora dire che e’ un’equazione differenziale lineare, omogenea, a coefficienti costanti.

Dall’analisi sappiamo che un’equazione differenziale di questo tipo ammette una soluzione del tipo

$\displaystyle{\mathbf{x(t)=Ae^{\alpha t}}}$ .

si calcola la derivata seconda e si sostituisce il tutto nell’equazione di partenza

$\displaystyle{\mathbf{\frac{dx}{dt}=A\alpha e^{\alpha t}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{\frac{d^2x}{dt^2}=A\alpha^2 e^{\alpha t}}}$ .

Mettendo nell’equazione di partenza la X(t) e la sua derivata seconda troviamo quella che viene chiamata equazione caratteristica

$\displaystyle{\mathbf{\alpha^2+\frac{k}{m}=0}}$ .

Siamo cosi’ passati da un’equazione differenziale ad un’equazione del secondo ordine, questa ammette due soluzioni

$\displaystyle{\mathbf{\alpha^2=-\frac{k}{m}\Longrightarrow \alpha_{1,2}=\pm\sqrt{-\frac{k}{m}}=\pm\sqrt{(-1)\frac{k}{m}}=\pm\sqrt{-1}\sqrt{\frac{k}{m}}=\pm i\sqrt{\frac{k}{m}}}}$ .

Poniamo

$\displaystyle{\mathbf{\omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}\hspace{0,5cm}}pulsazione\hspace{0,2cm}delle\hspace{0,2cm}oscillazioni\hspace{0,2cm}libere}}$ .

Le soluzioni sono :

α_1,2 = ± i ω₀Queste sono le soluzioni dell’equazione caratteristica, esse vanno sostituite nella soluzione ipotizzata in partenza

$\displaystyle{\mathbf{x(t)=Ae^{\alpha t}}}$ .

Noi pero’ abbiamo due soluzioni, quale prendiamo ? Ovviamente le dobbiamo prendere entrambe, l’integrale generale deve contenere tutte le possibilita’, quindi vanno sommate come combinazione lineare ognuna con un suo coefficiente

$\displaystyle{\mathbf{x(t)=c_1e^{\alpha_1 t}+c_2e^{\alpha_2 t}=c_1e^{i\omega_0 t}+c_2e^{-i\omega_0 t}}}$ .

C₁ e C₂ sono legate alle condizioni iniziali.

Scriviamo gli esponenziali usando la formula di Eulero

$\displaystyle{\mathbf{e^{i\omega_0 t}=\cos\omega_0 t+i\sin\omega_0 t}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{e^{-i\omega_0 t}=\cos\omega_0 t-i\sin\omega_0 t}}$ .

Le abbiamo trasformate in due funzioni del tipo α ± iβ, in particolare esse hanno la stessa parte reale mentre la parte immaginaria e’ opposta. Sono, allora due funzioni complesse coniugate.

$\displaystyle{\mathbf{e^{-i\omega_0 t}=\overline{e^{i\omega_0 t}}}}$ .

La barra sopra vuol dire coniugato. Ora dobbiamo fare una considerazione, la formula trovata per x(t)

$\displaystyle{\mathbf{x(t)=c_1e^{i\omega_0 t}+c_2e^{-i\omega_0 t}}}$ .

ci dice che x(t) e’ una funzione complessa, ma noi l’abbiamo trovata come soluzione di un moto oscillatorio il che significa che x(t) e’ una funzione reale. Questo vuol dire che alla fine i termini complessi se ne andranno. Se x(t), ossia lo spostamento della massa sul piano, e’ reale significa che e’ uguale al suo coniugato, infatti dato un qualsiasi numero reale A si ha che

$\displaystyle{\mathbf{A=\overline{A}\hspace{0,3cm}e\hspace{0,2cm}quindi:}}$

$\displaystyle{\mathbf{x(t)=\overline{x(t)}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{\overline{x(t)}=\overline{c_1e^{i\omega_0 t}+c_2e^{-i\omega_0 t}}=\overline{c}_1e^{-i\omega_0 t}+\overline{c}_2e^{i\omega_0 t}}}$ .

Ora confrontiamo x(t) con il suo coniugato

$\displaystyle{\mathbf{x(t)=c_1e^{i\omega_0 t}+c_2e^{-i\omega_0 t}\hspace{1cm}\overline{x(t)}=\overline{c}_1e^{-i\omega_0 t}+\overline{c}_2e^{i\omega_0 t}}}$ .

Queste due funzioni, se x(t) e’ reale, devono essere uguali, allora deve essere :

$\displaystyle{\mathbf{\overline{c}_1=c_2\hspace{0,5cm}e\hspace{0,5cm}c_1=\overline{c}_2}}$ .

Ossia C₁ e C₂ sono uno il coniugato dell’altro. Per capire cosa sono C₁ e C₂ dobbiamo ricorrere alla rappresentazione di Eulero nel piano complesso

Se C₂ e’ il coniugato di C₁ ha lo stesso modulo, ma angolo opposto

$\displaystyle{\mathbf{c_1=\overline{c}_2=\frac{c}{2}e^{i\phi}}}$ .

Abbiamo usato C / 2 in luogo di C perche’ ci tornera’ utile in seguito, non c’e’ nessun problema, vorra’ dire che C e’ il doppio di C₁.

Torniamo allora alla nostra x(t)

$\displaystyle{\mathbf{x(t)=c_1e^{i\omega_0 t}+c_2e^{-i\omega_0 t}=\frac{c}{2}e^{i\phi}e^{i\omega_0 t}+\frac{c}{2}e^{-i\phi}e^{-i\omega_0 t}}}$ .

Ora ce la sistemiamo meglio

$\displaystyle{\mathbf{x(t)=\frac{c}{2}\hspace{0,1cm}e^{i\omega_0 t+i\phi}+\frac{c}{2}\hspace{0,1cm}e^{-i\omega_0 t-i\phi}=\frac{c}{2}\left [e^{i(\omega_0 t+\phi)}+e^{-i(\omega_0 t+\phi}\right ]}}$ .

Ricordiamo ora che :

$\displaystyle{\mathbf{e^{i(\omega_0 t+\phi)}+e^{-i(\omega_0 t+\phi)}=2\cos (\omega_0 t+\phi)\hspace{0,4cm}da\hspace{0,2cm}cui}}$ :

$\displaystyle{\mathbf{x(t)=\frac{C}{2}\hspace{0,1cm}2\cos (\omega_0 t+\phi)=C\cos (\omega_0 t+\phi)}}$ .

Riconosciamo in questa x(t) un moto armonico con elongazione, ossia ampiezza, pari a C, con fase iniziale pari a Φ e pulsazione

$\displaystyle{\mathbf{\omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}}}}$ .

Vediamo il periodo T delle oscillazioni

$\displaystyle{\mathbf{T=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}}}$ .

Da questa è evidente che tanto piu’ la massa e’ grande, tanto piu’ il periodo e’ lungo, ossia tanto piu’ le oscillazioni sono lente. Normalmente le incognite, in un problema sono Φ e C che si possono trovare dalle condizioni iniziali. Nella seconda parte della lezione vediamo un caso particolare e il calcolo di questi parametri.

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