Macchina di Atwood con considerazioni energetiche

Rivediamo quanto fatto nella lezione precedente pero’ usando considerazioni energetiche. Ripartiamo dal nostro sistema

Abbiamo scelto un riferimento per l’energia potenziale, il nostro zero.

Se non ci sono attriti si conserva l’energia meccanica. La ruota e’ stata supposta libera di ruotare senza attrito attorno al suo centro. Sappiamo che e’ presente attrito tra la ruota e la fune, ma sappiamo anche che e’ statico perche’ non c’e’ movimento tra fune e ruota e l’attrito statico non compie lavoro, non c’e’ spostamento.

Per il nostro sistema si conserva l’energia meccanica.

La figura sopra e’ la condizione iniziale. Il sistema e’ fermo con M_B a quota di riferimento e M_A a quota h

E_m1 = M_A g h

Non consideriamo l’energia potenziale della ruota perche’ non subisce variazioni, la ruota e’ sempre a quell’altezza, quindi il ΔU = 0, e’ inutile considerarla.

La condizione finale e’ quella della figura sotto

Ora compaiono anche le energie cinetiche. Vediamo un elemento alla volta.

Per la carrucola che ruota a velocita’ angolare ω, la sua energia cinetica e’

$\displaystyle{\mathbf{\frac{1}{2}\, I_C\omega^2}}$

V = ω r ⇒ ω = V/r

$\displaystyle{\mathbf{\frac{1}{2}\, I_C\omega^2=\frac{1}{2}\, I_C\,\frac{v^2}{r^2}}}$

La massa M_A e’ dotata solo di energia cinetica perche’ ora e’ a quota di riferimento, ed essa vale

$\displaystyle{\mathbf{E_{CA}=\frac{1}{2}M_AV^2}}$

La massa M_B ha ora sia energia cinetica che energia potenziale perche’ si e’ portata a quota h. La sua energia complessiva e’

$\displaystyle{\mathbf{E_B=M_B\, g\, h +\frac{1}{2}\, M_B\, V^2}}$

Allora l’energia meccanica nella seconda situazione e’

$\displaystyle{\mathbf{E_{m2}=M_B\, g\, h+\frac{1}{2}\, M_AV_A^2+\frac{1}{2}\, M_BV_B^2+\frac{1}{2}\, I_C\frac{V^2}{r^2}}}$

Dato che si conserva l’energia meccanica

E_m1 = E_m2

$\displaystyle{\mathbf{M_A\, g\, h=M_B\, g\, h+\frac{1}{2}\left (M_A+M_B+\frac{I_C}{r^2}\right )V^2}}$

Abbiamo messo in evidenza V² visto che e’ la grandezza che dobbiamo calcolarci.

$\displaystyle{\mathbf{\frac{1}{2}\left (M_A+M_B+\frac{I_C}{r^2}\right )V^2=M_A\, g\, h-M_B\, g\, h}}$

Da questa ricaviamo V

$\displaystyle{\mathbf{v=\sqrt{\frac{2gh(M_A-M_B)}{M_A+M_B+\frac{I_C}{r^2}}}=\sqrt{2gh}\,\sqrt{\frac{M_A-M_B}{M_A+M_B+\frac{I_C}{r^2}}}}}$

Questa e’ la velocita’ con cui la massa M_A arriva a terra. Se ci viene richiesto anche il tempo bisogna fare lo studio come nella lezione precedente, ossia occorre applicare la cinematica.

Dovreste ora essere in grado di ricavare l’energia cinetica del sistema disegnato sotto, e’ un esercizio che puo’ capitare perche’ c’e’ un piccolo trabocchetto in cui cadono in molti.

$\displaystyle{\mathbf{E_C=\frac{1}{2}(M_A+M_B+M_C)v^2+\frac{1}{2}I_D\,\omega^2+\frac{1}{2}I_E\,\omega^2}}$

Le due ruote sono diverse, quindi ω_D ≠ ω_E

Sappiamo che V = ω r e la V e’ la la stessa per le due ruote. Sostituiamo a ω V/r

$\displaystyle{\mathbf{E_C=\frac{1}{2}(M_A+M_B+M_C)v^2+\frac{1}{2}\, I_D\,\frac{v^2}{r_D^2}+\frac{1}{2}\, I_E\,\frac{v^2}{r_E^2}}}$

Mettiamo in evidenza 1/2 V² e otteniamo che l’energia cinetica del sistema e’

$\displaystyle{\mathbf{E_C=\frac{1}{2}\, \left (M_A+M_B+M_C+\frac{I_D}{r_D^2}+\frac{I_E}{r_E^2}\right ) v^2}}$

Esercizi di questo tipo non sono inusuali, fate attenzione che in presenza di attrito non si conserva l’energia meccanica.

Ci rimane da studiare la statica del corpo rigido, con particolare attenzione alle leve.

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