Dipolo elettrico

Un dipolo elettrico, essenzialmente, è costituito da due Cariche elettriche di segno contrario (una positiva e una negativa) poste ad una distanza che chiamiamo 2a.

Così come abbiamo fatto nella lezione precedente vediamo prima il campo generato dalle due cariche lungo gli assi x e y, poi costruiamo tutte le altre linee di forza.

Iniziamo a vedere il campo elettrico lungo l’asse x.

Applichiamo il principio di sovrapposizione e andiamo a vedere prima il campo generato dalla carica positiva +Q, poi quello dovuto alla carica -Q.

Scegliamo un punto x lungo l’asse delle ascisse, dove andare a valutare il campo. Tracciamo il vettore r₁ che unisce la sorgente +Q al punto x, poi disegniamo il vettore campo elettrico E₁ che sappiamo essere radiale esterno.

Radiale vuol dire che ha la stessa direzione del raggio vettore r₁ , esterno che è diretto in fuori. Ora scomponiamo il vettore E₁ secondo le direzioni degli assi.

Scomporre il vettore campo elettrico ci serve per eliminare le eventuali proiezioni che risultano uguali e contrarie a quelle della seconda carica.

Ora consideriamo la sola carica – Q e facciamo la stessa costruzione di prima facendo attenzione al fatto che E₂ è sempre radiale, ma non è rivolto verso l’esterno. Questa volta punta verso l’interno perchè la carica non è una sorgente, ma un pozzo, è una carica negativa.

Esattamente come prima abbiamo costruito il vettore posizione, poi il vettore campo elettrico, radiale interno, infine scomposto E₂ lungo la direzione degli assi.

Consideriamo ora i due campi insieme.

Dal disegno vediamo che, questa volta, si annullano le componenti dei campi elettrici lungo l’asse x, ovviamente se le cariche hanno lo stesso valore e la stessa distanza da x.

Le componenti lungo y si sommano. Dobbiamo valutare E_1y ed E_2y .

$\displaystyle{\mathbf{E_{1y}=E_1\sin\theta}}$

Sappiamo che il campo elettrico è espresso dalla relazione

$\displaystyle{\mathbf{E=K_o\,\frac{Q}{r^2}}}$

la sostituiamo nell’espressione precedente

$\displaystyle{\mathbf{E_{1y}=K_o\,\frac{Q}{r_1^2}\,\sin\theta}}$

Dalla figura è facile vedere che

$\displaystyle{\mathbf{a=r_1\sin\theta\,\Longrightarrow\, \sin\theta=\frac{a}{r_1}}}$

Sostituendo anche questa in E_1y si ha

$\displaystyle{\mathbf{E_{1y}=K_o Q\,\frac{a}{r_1^3}}}$

Valutiamo r₁ applicando il teorema di Pitagora

$\displaystyle{\mathbf{r_1=\sqrt{x^2+a^2}}}$

La componente lungo y del campo elettrico generato dalla prima carica diventa

$\displaystyle{\mathbf{E_{1y}=K_o Q\,\frac{a}{(x^2+a^2)^\frac{3}{2}}}}$

Il denominatore risulta elevato alla 3/2 perchè è una radice quadrata elevata al cubo.

Per la componente, sempre lungo y, del vettore campo elettrico della seconda carica (quella negativa) il calcolo è analogo e si ha

$\displaystyle{\mathbf{E_{2y}=K_o Q\,\frac{a}{(x^2+a^2)^\frac{3}{2}}}}$

A questo punto sommiamo i due campi

$\displaystyle{\mathbf{E_{tot}=2K_o Q\,\frac{a}{(x^2+a^2)^\frac{3}{2}}}}$

Lo studio di questa funzione, al variare di x è molto semplice, c’è solo una x al denominatore. Si vede subito che il massimo si ha per x = 0. (Per trovare il massimo di una funzione dobbiamo uguagliare a zero la sua derivata prima). Mano a mano che ci allontaniamo dal dipolo elettrico lungo l’asse x, la funzione tende a zero.

Lungo l’asse x il campo elettrico generato dal dipolo è ad esso perpendicolare. E’ massimo per x = 0 e va diminuendo mano amano che ci si allontana lungo x.

Vediamo il campo lungo l’asse y.

In questo caso è veramente semplice, il campo elettrico esce da +Q e converge in -Q.

Vediamo i due campi lungo le due direzione degli assi.

Per disegnare il campo elettrico per tutte le altre direzioni, riportiamo il campo di +Q e di -Q e teniamo conto che le linee di forza escono dalla sorgente e vanno nel pozzo.

Queste sono le linee di forza del campo generato da un dipolo elettrico. Escono dalla carica positiva e arrivano in quella negativa.

Lo studio del dipolo elettrico continua, dopo aver fatto il campo elettrico e il potenziale, nella lezione Energia elettrostatica e momento di un dipolo

Dalla prossima lezione iniziamo a vedere le distribuzioni continue di carica.

Prossima lezione Distribuzione continua di carica