Campo elettrico di un disco uniformemente carico

Passiamo ora allo studio del campo elettrico generato da un disco uniformemente carico.

Come prima cosa dobbiamo ricordarci la definizione di densità superficiale di carica

$\displaystyle{\mathbf{\sigma=\frac{dq}{dS}}}$

Se il disco è uniformemente carico

$\displaystyle{\mathbf{\sigma=\frac{dq}{dS}=\frac{q_{tot}}{\pi R^2}}}$

Ovviamente π R² è la superficie del disco.

Per calcolare il campo elettrico generato da una distribuzione superficiale σ di carica dobbiamo considerare piccole aureole di superficie dS, calcolare poi la carica dq in essa, il campo dE generato da dq nel punto P scelto e infine integrare.

Nel caso di un disco non possiamo considerare aureole rettangolari e porre

dS = dx × dy

l’errore che si commette non è trascurabile.

Dobbiamo considerare aureole a forma di settore circolare tronco.

Siamo così costretti a passare alle coordinate polari.

Indichiamo con r la distanza tra il centro della tesserina e il centro del disco. Ci occorre anche l’angolo, ossia l’anomalia. Esso è l’angolo individuato dalla tesserina, lo indichiamo con dφ, è l’apertura infinitesima.

Calcoliamo le misure dei lati indicati con i numeri 1 e 2.

Lato 1 : r dφ

Lato 2 : dr

Possiamo calcolare l’area infinitesima dS come

$\displaystyle{\mathbf{dS=r\, d\phi\, dr}}$

senza commettere un grosso errore.

Per sapere quanta carica c’è nell’area dS basta usare la densità superficiale di carica

$\displaystyle{\mathbf{dq=\sigma\, dS=\sigma \, r\, dr\, d\phi}}$

Andiamo ora a calcolare il campo elettrico lungo l’asse del disco.

Per ottenere un disegno comprensibile mettiamo il disco leggermente di lato.

Scegliamo il punto di osservazione P, scegliamo l’elementino di carica dq e disegniamo r che identifica l’elemento sorgente dq. R è il raggio dell’anello, r’ unisce dq con il punto P in considerazione.

La distanza del punto P dalla sorgente dq è data dal teorema di Pitagora

$\displaystyle{\mathbf{r' =\sqrt{x^2+r^2}}}$

Siamo adesso in grado di scrivere il contributo dE al campo elettrico complessivo E.

$\displaystyle{\mathbf{dE=\frac{dq}{4\pi\epsilon_o\bigl (\sqrt{x^2+r^2}\bigl )^2}=\frac{dq}{4\pi\epsilon_o(x^2+r^2)}=\frac{\sigma \, r\, dr\, d\phi}{4\pi\epsilon_o(x^2+r^2)}}}$

Come al solito, per trovare eventuali simmetrie che possano facilitare i calcoli, scomponiamo dE nelle sue componenti lungo x e lungo y.

$\displaystyle{\mathbf{dE_x=dE\,\cos\theta}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{dE_y=dE\,\sin\theta}}$

Dalla figura è facile ricavare cosθ e senθ

$\displaystyle{\mathbf{\cos\theta =\frac{x}{\sqrt{x^2+r^2}}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{\sin\theta =\frac{r}{\sqrt{x^2+r^2}}}}$

Notiamo che la componente lungo y può essere eliminata infatti

scelto un elemento dq, il suo simmetrico genera un campo lungo y, dEy, uguale e contrario.

Consideriamo allora solo dEx, ossia la componente del campo elettrico lungo x.

$\displaystyle{\mathbf{dE_x=dE\cos\theta =dE\,\frac{x}{\sqrt{x^2+r^2}}}}$

Dove dE vale

$\displaystyle{\mathbf{dE=\frac{\sigma\, r\, dr\, d\phi}{4\pi\epsilon_o(x^2+r^2)}}}$

Il campo totale E_tot è dato dalla somma (integrale) di tutti i contributi generati da tutti i dq della distribuzione.

$\displaystyle{\mathbf{E_{tot}=\int dE_x=\int dE\cos\theta =\int dE\,\frac{x}{\sqrt{x^2+r^2}}=\int \frac{\sigma\, r\, dr\, d\phi}{4\pi\epsilon_o(x^2+r^2)}\, \frac{x}{\sqrt{x^2+r^2}}}}$

σ , 4πε_o , x sono tutte costanti che possiamo portare fuori dall’integrale.

L’integrale lo spezziamo in due, ogni parte con il suo dominio di integrazione

$\displaystyle{\mathbf{E_{tot}=\frac{\sigma\, x}{4\pi\epsilon_o}\, \int_0^R\frac{r\, dr}{(x^2+r^2)^{\frac{3}{2}}}\,\, \int_0^{2\pi} d\phi}}$

Al variare dell’angolo φ otteniamo tutte le aureole dS che hanno uguale r. Integrando tra 0 e R abbiamo il contributo totale.

$\displaystyle{\mathbf{\int_0^{2\pi} d\phi=2\pi}}$

Quindi

$\displaystyle{\mathbf{E_{tot}=\frac{\sigma\, x}{2\epsilon_o}\,\int_0^R\frac{r\,dr}{(x^2+r^2)^{\frac{3}{2}}}=\frac{\sigma\, x}{2\epsilon_o}\, \Bigl [ -\, \frac{1}{\sqrt{x^2+r^2}}\Bigr ]_0^R}}$

Facendo i calcoli si ha

$\displaystyle{\mathbf{E_{tot}=\frac{\sigma}{2\epsilon_o}\, \Bigl (1-\,\frac{x}{\sqrt{x^2+R^2}} \Bigr )}}$

Campo elettrico totale generato dal disco uniformemente carico in un punto del suo asse.

Rimangono da valutare i casi di campo vicino, ossia per x << R, e di campo lontano, ossia per x >> R

Campo vicino x << R

In questo caso il termine

$\displaystyle{\mathbf{\frac{x}{\sqrt{x^2+R^2}}}}$

diventa trascurabile rispetto a 1 e il campo elettrico totale diventa

$\displaystyle{\mathbf{E_{tot}=\frac{\sigma}{2\epsilon_o}}}$

Campo lontano x >> R

In questo caso R è trascurabile rispetto a x e si ha

$\displaystyle{\mathbf{E_{tot}=\frac{\sigma}{2\epsilon_o}\, \Bigl (1-\,\frac{x}{\sqrt{x^2+R^2}} \Bigr )=\frac{\sigma}{2\epsilon_o}\Bigl (1-1\bigr)=0}}$

Se ci allontaniamo molto dal disco il campo elettrico va a zero, questo è ovvio, allontanandoci indefinitamente E non c’è più, però vogliamo vedere come si azzera.

Manipoliamo un pò l’espressione del campo elettrico totale.

$\displaystyle{\mathbf{E_{tot}=\frac{\sigma}{2\epsilon_o}\, \Bigl (1-\,\frac{x}{\sqrt{x^2+R^2}} \Bigr )=\frac{\sigma}{2\epsilon_o}\Bigl (\frac{\sqrt{x^2+R^2}-x}{\sqrt{x^2+R^2}}\Bigr )=\frac{\sigma}{2\epsilon_o}\Biggl (\cfrac{x\sqrt{1+\cfrac{R^2}{x^2}}-x}{\sqrt{x^2+R^2}}\Biggr )}}$

Dobbiamo ricordare la relazione

$\displaystyle{\mathbf{\sqrt{1+\epsilon}=1+\frac{\epsilon}{2}}}$

Che nel nostro caso diventa

$\displaystyle{\mathbf{\sqrt{1+\frac{R^2}{x^2}}=1+\frac{R^2}{2x^2}}}$

Inoltre, sempre perchè x >> R

$\displaystyle{\mathbf{\sqrt{x^2+R^2}\simeq \sqrt{x^2}=x}}$

Il campo totale è allora

$\displaystyle{\mathbf{E_{tot}=\frac{\sigma}{2\epsilon_o}\Biggl [\cfrac{x\Bigl (1+\cfrac{R^2}{2x^2}\Bigr )-x}{x}\Biggr ]=\frac{\sigma}{2\epsilon_o}\, \frac{R^2}{2x^2}=\frac{\sigma}{4\epsilon_o}\,\frac{R^2}{x^2}}}$

Sigma σ è la densità superficiale di carica

$\displaystyle{\mathbf{\sigma =\frac{dq}{dS}=\frac{q_{tot}}{S}=\frac{q}{\pi R^2}}}$

Sostituiamo

$\displaystyle{\mathbf{E_{tot}=\frac{q}{4\pi\epsilon_oR^2}\,\frac{R^2}{x^2}=\frac{q}{4\pi\epsilon_ox^2}}}$

Ritroviamo il caso del campo generato da una carica puntiforme.