Leggi di Biot e Savat e di circuitazione di Ampere

Per arrivare alle leggi di Biot e Savat e di circuitazione di Ampere dobbiamo riprendere dalla lezione precedente sul campo magnetico generato da un filo rettilineo.

Abbiamo dimostrato che il vettore induzione in un punto P, distante x dal filo è pari a :

$\displaystyle{\mathbf{B=\frac{\mu_o I}{4\pi x}\, (\sin\beta +\sin\alpha)}}$

Consideriamo ora il caso di un filo infinitamente lungo. Se la lunghezza del filo tende all’infinito, gli angoli α e β tenderanno a π/2

Questa è la figura utilizzata la lezione passata. Abbiamo integrato il contributo dB, di ogni piccolo tratto Idy del filo, tra -α e β e siamo arrivati alla formula scritta sopra.

Se il filo è infinitamente lungo

$\displaystyle{\mathbf{\alpha \rightarrow \, \frac{\pi}{2}\qquad\,\qquad \beta\rightarrow\, \frac{\pi}{2}}}$

Questi valori degli angoli li mettiamo nell’espressione dell’induzione magnetica B.

$\displaystyle{\mathbf{B=\frac{\mu_o I}{4\pi r}\, \Bigl (\sin\frac{\pi}{2} +\sin\frac{\pi}{2}\Bigr )}}$

Abbiamo chiamato r la distanza del punto di osservazione P dal filo. (La volta scorsa l’avevamo chiamata x perchè r era il raggio vettore che individua la posizione del contributo Idy).

Dato che senπ/2 = 1

$\displaystyle{\mathbf{B=\frac{\mu_o I}{4\pi r}\, 2=\frac{\mu_o I}{2\pi r}}}$

Legge di Biot e Savat

In un punto P a distanza r da un filo rettilineo percorso da corrente e infinitamente lungo il valore dell’induzione magnetica è dato da :

$\displaystyle{\mathbf{B=\frac{\mu_o I}{2\pi r}}}$

Diamo ora uno sguardo a sinistra del filo e consideriamo un altro punto P’ e vediamo la direzione e il verso del vettore induzione magnetica.

Sempre utilizzando la regola della mano destra, troviamo che nel punto P’ il campo magnetico è uscente.

Se in P è entrante e in P’ è uscente, le linee di forza del campo magnetico sono cerchi concentrici al filo.

Per trovare il verso delle linee di campo, si punta il pollice della mano destra nel senso della corrente. Le altre dita si chiudono nel verso del campo.

Se ci spostiamo lungo il filo le linee di forza sono sempre le stesse.

Se ci allontaniamo dal filo, le linee di forza sono più ampie ed il campo magnetico risulta ridotto, infatti la distanza r dal filo è a denominatore. Se aumenta r diminuisce B.

Legge di circuitazione di Ampere

Vogliamo integrare l’induzione magnetica B lungo la circonferenza, ossia andiamo a calcolare la circuitazione di B.

$\displaystyle{\mathbf{\oint \overrightarrow{\mathbf{B}}\cdot d \overrightarrow{\mathbf{L}}}}$

Per capirci meglio, facciamo l’integrale del vettore induzione magnetica lungo il percorso chiuso della linea di forza.

Dato che B e dL sono concordi, il prodotto scalare è massimo.

$\displaystyle{\mathbf{\oint \overrightarrow{\mathbf{B}}\cdot d \overrightarrow{\mathbf{L}}=\oint BdL}}$

Ovviamente, lungo la linea chiusa, il valore di B è costante perchè lo è la distanza dal filo. Possiamo portare B fuori dall’integrale.

$\displaystyle{\mathbf{\oint BdL=B\oint dL=B\, L=2\pi r B}}$

Al posto di B mettiamo l’espressione della legge di Biot e Savat

$\displaystyle{\mathbf{\oint \overrightarrow{\mathbf{B}}\cdot d \overrightarrow{\mathbf{L}}=2\pi r\,\frac{\mu_o I}{2\pi r}=\mu_o I}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{\oint \overrightarrow{\mathbf{B}}\cdot d \overrightarrow{\mathbf{L}}=\mu_o I}}$

Questa è la legge di circuitazione di Ampere.