Prodotto tra vettori

Il prodotto tra vettori non segue le regole di quello tra due numeri, esso è scalare o vettoriale. In questa lezione vedremo il prodotto scalare, vettoriale e anche il prodotto misto. Nello studio della fisica incontreremo spesso il prodotto tra vettori è quindi meglio conoscerlo a fondo.

Prima di iniziare vediamo cosa si intende per componente ortogonale di un vettore.

Componente ortogonale Consideriamo una retta r e un vettore V. Come rappresentante prendiamo il segmento orientato AB. (Se non sapete di cosa stiamo parlando andate alla teoria dei vettori ).

$\displaystyle{\mathbf{.\qquad\qquad\overrightarrow{\mathbf{V}}=\overrightarrow{\mathbf{AB}}}}$

Mandiamo le proiezioni ortogonali di A e di B sulla retta r , le chiamiamo A_re B_r. La misura di A_rB_rè la componente ortogonale del vettore secondo la retta r.

Prendiamo ora, come rappresentante di V , A_rB’. Dovrebbe essere evidente che la componente ortogonale del vettore non dipende dal particolare rappresentante scelto, sia esso AB oppure A_rB’ o qualunque altro della stessa classe di equipollenza (se non lo è torna qui ).

Se consideriamo il triangolo A_rB_rB’ possiamo scrivere:

$\displaystyle{\mathbf{V_r=V\cos\alpha}}$

Ci rimane solo da notare che:

Se α < 90⁰ ⇒ cosα > 0 ⇒ V_r> 0

Se α > 90⁰ ⇒ cosα < 0 ⇒ V_r < 0

Se α = 90⁰ ⇒ cosα = 0 ⇒ V_r = 0

Prodotto scalare

Il prodotto scalare di due vettori è un numero, è uno scalare, ed è pari al prodotto dei moduli dei due vettori moltiplicato per il coseno dell’angolo formato dai due vettori. In formula.

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{V}}_1\cdot\overrightarrow{\mathbf{V}}_2=V_1V_2\cos\alpha}}$

Se consideriamo una retta r orientata come il vettore V₂

$\displaystyle{\mathbf{V_1\cos\alpha}}$

è la componente di V₁secondo la retta r.

La componente di V₂è invece V₂ visto che giace sulla retta.

Allora guardando la definizione si ha:

→ Il prodotto scalare di due vettori è uguale al prodotto delle loro componenti ortogonali secondo una retta parallela ad uno qualunque dei due vettori.

il prodotto scalare è nullo se sono nulli uno o entrambi i vettori o se l’angolo da loro formato è π/2.

Dato che un vettore nullo ha direzione indeterminata, lo possiamo considerare ortogonale a qualunque vettore, quindi:

→ Il prodotto scalare è nullo se i vettori sono ortogonali

Nel caso dei versori, che sono vettori di modulo unitario

$\displaystyle{\mathbf{\hat{u}_1\cdot\hat{u}_2=u_1u_2\cos\alpha=\cos\alpha}}$

Per il prodotto scalare valgono le proprietà

Commutativa: $\displaystyle{\mathbf{.\qquad\overrightarrow{\mathbf{V}}_1\cdot\overrightarrow{\mathbf{V}}_2=\overrightarrow{\mathbf{V}}_2\cdot\overrightarrow{\mathbf{V}}_1}}$
Distributiva rispetto alla somma: $\displaystyle{\mathbf{.\qquad (\overrightarrow{\mathbf{V}}_1+\overrightarrow{\mathbf{V}}_2)\cdot\overrightarrow{\mathbf{V}}_3=\overrightarrow{\mathbf{V}}_1\cdot\overrightarrow{\mathbf{V}}_3+\overrightarrow{\mathbf{V}}_2\cdot\overrightarrow{\mathbf{V}}_3}}$

Possiamo anche fare il prodotto scalare di un vettore per se stesso

$\displaystyle{\mathbf{.\qquad\overrightarrow{\mathbf{V}}\cdot\overrightarrow{\mathbf{V}}=V\, V \cos\alpha=V^2\cos0=V^2}}$

Per quanto detto fino ad ora, se consideriamo i versori fondamentali degli assi si ha:

$\displaystyle{\mathbf{\hat{i}\cdot\hat{i}=i^2=1\qquad\qquad\hat{j}\cdot\hat{j}=j^2=1\qquad\qquad\hat{k}\cdot\hat{k}=k^2=1}}$

Non solo, valgono anche le relazioni (evidenti)

$\displaystyle{\mathbf{\hat{i}\cdot\hat{j}=0\qquad\qquad\hat{j}\cdot\hat{k}=0\qquad\qquad\hat{k}\cdot\hat{i}=0}}$

Con queste considerazioni

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{V}}\cdot\hat{i}=(V_x\hat{i}+V_y\hat{j}+V_z\hat{k})\cdot\hat{i}=V_x\hat{i}\cdot\hat{i}+V_y\hat{j}\cdot\hat{i}+V_z\hat{k}\cdot\hat{i}=V_x}}$

Allo stesso modo si può vedere che

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{V}}\cdot\hat{j}=V_y}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{V}}\cdot\hat{k}=V_z}}$

→ Le coordinate di un vettore coincidono con le componenti del vettore secondo gli assi

Così in un riferimento cartesiano ortogonale chiamiamo componenti di un vettore le sue coordinate.

Prendiamo ora due vettori

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{V}}_1=V_{1x}\,\hat{i}+V_{1y}\,\hat{j}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{V}}_2=V_{2x}\,\hat{i}+V_{2y}\,\hat{j}}}$

e facciamone il prodotto scalare

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{V}}_1\cdot\overrightarrow{\mathbf{V}}_2=(V_{1x}\,\hat{i}+V_{1y}\,\hat{j})\cdot(V_{2x}\,\hat{i}+V_{2y}\,\hat{j})=V_{1x}\, V_{2x}+V_{1y}\, V_{2y}}}$

→ Il prodotto scalare di due vettori è uguale alla somma dei prodotti delle componenti omonime dei vettori

Se V₁ = V₂ =V

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{V}}\cdot\overrightarrow{\mathbf{V}}=V^2=V_x^2+V_y^2}}$

→ Il quadrato della lunghezza di un vettore è pari alla somma dei quadrati delle sue componenti

Possiamo passare al prodotto vettoriale

Prodotto vettoriale

Il prodotto vettoriale di due vettori è un vettore V

$\displaystyle{\mathbf{.\qquad\qquad\overrightarrow{\mathbf{V}}=\overrightarrow{\mathbf{V}}_1\times\overrightarrow{\mathbf{V}}_2}}$

che ha:

Lunghezza pari a V₁ V₂senα
Direzione ortogonale a V₁e V₂
Verso tale che la rotazione che porta V₁ su V₂percorrendo l’angolo < π sia antioraria

Il prodotto vettoriale è nullo se i due vettori sono paralleli.

Proprietà del prodotto vettoriale:

Associativa con la moltiplicazione per uno scalare

$\displaystyle{\mathbf{a\overrightarrow{\mathbf{V}}_1\times\overrightarrow{\mathbf{V}}_2=\overrightarrow{\mathbf{V}}_1\times(a\overrightarrow{\mathbf{V}}_2)=a(\overrightarrow{\mathbf{V}}_1\times\overrightarrow{\mathbf{V}}_2)}}$

2. Alternante

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{V}}_1\times\overrightarrow{\mathbf{V}}_2=-\overrightarrow{\mathbf{V}}_2\times\overrightarrow{\mathbf{V}}_1}}$

3. Distributiva rispetto all’addizione

$\displaystyle{\mathbf{(\overrightarrow{\mathbf{V}}_1+\overrightarrow{\mathbf{V}}_2)\times\overrightarrow{\mathbf{V}}_3=\overrightarrow{\mathbf{V}}_1\times\overrightarrow{\mathbf{V}}_3+\overrightarrow{\mathbf{V}}_2\times\overrightarrow{\mathbf{V}}_3}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{V}}_3\times(\overrightarrow{\mathbf{V}}_1+\overrightarrow{\mathbf{V}}_2)=\overrightarrow{\mathbf{V}}_3\times\overrightarrow{\mathbf{V}}_1+\overrightarrow{\mathbf{V}}_3\times\overrightarrow{\mathbf{V}}_2}}$

E’ molto importante vedere il prodotto vettoriale tra i versori degli assi. Per la definizione di prodotto vettoriale si ha:

$\displaystyle{\mathbf{\hat{i}\times\hat{i}=\hat{j}\times\hat{j}=\hat{k}\times\hat{k}=0}}$

L’angolo tra un vettore e se stesso è nullo, quindi il sen0 = 0.

$\displaystyle{\mathbf{\hat{i}\times\hat{j}=\hat{k}\qquad\qquad\hat{j}\times\hat{i}=-\hat{k}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{\hat{j}\times\hat{k}=\hat{i}\qquad\qquad\hat{k}\times\hat{j}=-\hat{i}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{\hat{k}\times\hat{i}=\hat{j}\qquad\qquad\hat{i}\times\hat{k}=-\hat{j}}}$

Per capirle basta considerare che i versori degli assi sono tra di loro perpendicolari e hanno modulo unitario.

Vediamo come esprimere il prodotto vettoriale tramite le componenti dei vettori.

Consideriamo due vettori e scriviamoli usando le loro componenti

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{V}}_1=V_{1x}\,\hat{i}+V_{1y}\,\hat{j}+V_{1z}\,\hat{k}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{V}}_2=V_{2x}\,\hat{i}+V_{2y}\,\hat{j}+V_{2z}\,\hat{k}}}$

Ora facciamo il prodotto vettoriale

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{V}}=\overrightarrow{\mathbf{V}}_1\times\overrightarrow{\mathbf{V}}_2=(V_{1x}\,\hat{i}+V_{1y}\,\hat{j}+V_{1z}\,\hat{k})\times(V_{2x}\,\hat{i}+V_{2y}\,\hat{j}+V_{2z}\,\hat{k})}}$

Svolgiamo tutti i prodotti

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{V}}=V_{1x}V_{2x}\hat{i}\times\hat{i}+V_{1x}V_{2y}\hat{i}\times\hat{j}+V_{1x}V_{2z}\hat{i}\times\hat{k}+\cdots\cdots }}$

Tenendo conto del valore dei prodotti vettoriali tra i versori degli assi l’espressione diventa:

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{V}}=(V_{1y}V_{2z}-V_{1z}V_{2y})\hat{i}+(V_{1z}V_{2x}-V_{1x}V_{2z})\hat{j}+(V_{1x}V_{2y}-V_{1y}V_{2x})\hat{k}}}$

Le componenti del vettore prodotto vettoriale sono

$\displaystyle{\mathbf{V_x=V_{1y}V_{2z}-V_{1z}V_{2y}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{V_y=V_{1z}V_{2x}-V_{1x}V_{2z}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{V_z=V_{1x}V_{2y}-V_{1y}V_{2x}}}$

che sono i minori del secondo ordine della matrice:

$\displaystyle{\mathbf{\left (\begin{array}{ccc} V_{1x} & V_{1y} & V_{1z} \\ V_{2x} & V_{2y} & V_{2z}\\ \end{array}\right )}}$

O anche, usando i determinanti, possiamo esprimere il prodotto vettoriale nel modo seguente:

$\displaystyle{\mathbf{\left |\begin{array}{ccc} i & j & k \\ V_{1x} & V_{1y} & V_{1z}\\ V_{2x} & V_{2y} & V_{2z} \\ \end{array} \right |}}$

sviluppando il determinante il determinante secondo gli elementi della prima riga.

Ci rimane l’ultimo prodotto tra vettori che è il prodotto misto.

Prodotto misto

Per prodotto misto si intende

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{V}}_1\cdot\overrightarrow{\mathbf{V}}_2\times\overrightarrow{\mathbf{V}}_3}}$

Prima va eseguito il prodotto vettoriale, poi quello scalare. Questo è ovvio, se facciamo prima il prodotto scalare, otteniamo un numero che poi dovremmo moltiplicare vettorialmente per un vettore e ciò non ha senso.

Il risultato del prodotto misto è un numero dato che il prodotto scalare ci da uno scalare.

Vediamo quando si annulla il prodotto misto.

Chiamiamo V il prodotto vettoriale tra V₂e V₃

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{V}}=\overrightarrow{\mathbf{V}}_2\times\overrightarrow{\mathbf{V}}_3}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{V}}_1\cdot\overrightarrow{\mathbf{V}}}}$

si annulla se V1 è perpendicolare a V. Per definizione di prodotto vettoriale V è perpendicolare a V₂e V₃, quindi il prodotto misto si annulla se V₁è complanare agli altri due vettori. Infatti, in tal caso, V1 è proprio perpendicolare a V.

Anche il prodotto misto può essere espresso tramite un determinante, basta tenere conto del fatto che il prodotto scalare è pari al prodotto delle componenti omonime. Tenendo sempre presente che prima si fa il prodotto vettoriale, poi quello scalare.

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{V}}_1\cdot\overrightarrow{\mathbf{V}}_2\times\overrightarrow{\mathbf{V}}_3=\left | \begin{array}{ccc} V_{1x} & V_{1y} & V_{1z}\\ V_{2x} & V_{2y} & V_{2z} \\ V_{3x} & V_{3y} & V_{3z}\\ \end{array}\right |}}$

Scambiando le righe di questo determinante otteniamo una relazione che incontreremo nello studio della fisica.

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{V}}_1\cdot\overrightarrow{\mathbf{V}}_2\times\overrightarrow{\mathbf{V}}_3=\overrightarrow{\mathbf{V}}_2\cdot\overrightarrow{\mathbf{V}}_3\times\overrightarrow{\mathbf{V}}_1=\overrightarrow{\mathbf{V}}_3\cdot\overrightarrow{\mathbf{V}}_1\times\overrightarrow{\mathbf{V}}_2}}$

→Il valore del prodotto misto di tre vettori non cambia permutando circolarmente i vettori.