Capacità di un conduttore sferico

Vogliamo definire la capacità di un conduttore sferico isolato.

$\displaystyle{\mathbf{C=\frac{Q}{V}}}$

La capacità C è quanta carica possiamo mettere su un conduttore diviso il potenziale del conduttore.

Possiamo parlare di potenziale di un conduttore perchè esso è costante i tutti i suoi punti, anche del bordo (Potenziale di una sfera conduttrice). In qualunque punto il potenziale è sempre lo stesso.

$\displaystyle{\mathbf{V=\frac{Q}{4\pi\epsilon_o\, R}}}$

Q è la carica totale presente sulla sfera e R è il raggio della sfera. Più cariche mettiamo sulla sfera e più aumenta il potenziale, c’è proporzionalità tra carica e potenziale.

Ovviamente non possiamo allocare quanta carica ci pare e arrivare ad un potenziale arbitrariamente grande. Avremmo fenomeni di scarica se non addirittura la rottura del conduttore.

La capacità non è definita come la massima carica Q che possiamo mettere, ma come una grandezza che esprime quanta carica abbiamo messo e il potenziale V a cui si porta il conduttore.

Unità di misura

$\displaystyle{\mathbf{C=\frac{Q}{V}\qquad\qquad \Biggl [\frac{Coulomb}{Volt}\Biggr ]=[Farad]}}$

Il Farad viene indicato con la lettera F

$\displaystyle{\mathbf{C=\frac{Q}{V}=\cfrac{Q}{\cfrac{Q}{4\pi\epsilon_o\, R}}=4\pi\epsilon_o\, R}}$

Questa è la capacità di un conduttore isolato, è una grandezza geometrica, che dipende dal raggio R della sfera. Non dipende dalla carica che mettiamo sul conduttore.

La costante dielettrica del vuoto ε_oè una quantità molto piccola

$\displaystyle{\mathbf{\epsilon_o =8,85\times 10^{-12}}}$

Si vede, allora, che una capacità di 1F è una quantità enorme. Ad esempio, per una sfera di raggio 1 metro

$\displaystyle{\mathbf{C=4\pi\epsilon_o\, R=4\times 3,14\times 8,85\times 10^{-12}\times \simeq 111\times 10^{-12}=11pF}}$

Aumentare il raggio per ottenere grandi capacità non è proprio la cosa migliore che possiamo fare, si può, invece, aumentare la costante dielettrica mettendo la sfera in un mezzo con elevato valore di ε_r. Questo aspetto lo studieremo approfonditamente più avanti.

E’ bene conoscere i sottomultipli del Farad

$\displaystyle{\mathbf{1mF=10^{-3}F}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{1\mu F=10^{-6}F}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{1n F=10^{-9}F}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{1p F=10^{-12}F}}$