Legge di Coulomb

Abbiamo visto che due corpi elettricamente carichi, posti vicini, si attraggono o si respingono a seconda del segno delle cariche. Vogliamo ora quantizzare questa forza introducendo la legge di Coulomb.

Tramite esperienze, fatte appunto da Coulomb, ottenute variando sia la distanza tra le cariche che il loro valore, si è riscontrato che la forza, sia essa attrattiva che repulsiva, è proporzionale a ciascuna delle cariche ed inversamente proprorzionale al quadrato della loro distanza.

Se abbiamo due cariche elettriche q₁ e q₂ , ad esempio di carica opposta, si viene a

creare una forza F₁₂ che la carica q₁ esercita su q₂. Per il terzo principio della dinamica a questa si contrappone la forza F₂₁ che la seconda esercita sulla prima.

Se le cariche hanno lo stesso segno il verso delle forze cambia

L’intensità di queste forze è proporzionale al prodotto delle cariche e diminuisce con il quadrato della loro distanza r.

La direzione è lungo la congiungente i centri delle cariche.

Il verso è attrattivo per cariche discordi e repulsivo per cariche concordi.

Vediamo l’espressione matematica della legge di Coulomb

$\displaystyle{\mathbf{F_e=K_o\,\frac{q_1 q_2}{r^2}}}$

Questa è la forza elettrica che una carica esercita su un’altra posta a distanza r da essa.

K_o è la costante di proporzionalità

$\displaystyle{\mathbf{K_o=\frac{1}{4\pi \epsilon_o}=9\times 10^9\,\frac{Nm^2}{C^2}}}$

ε_o è la costante dielettrica del vuoto, che ovviamente sarà data da

$\displaystyle{\mathbf{\epsilon_o=\frac{1}{4\pi K_o}=\frac{10^{-9}}{36\pi}}}$

Quando siamo nel vuoto si usa il pedice 0 . Anticipiamo che, se le cariche si trovano in un mezzo materiale, (gas, liquido o solido) le forze elettriche tendono a diminuire come valore. La direzione e il verso delle forze non cambiano, l’intensità diminuisce.

$\displaystyle{\mathbf{F_{mezzo}=\frac{F_{vuoto}}{\epsilon_r}}}$

ε_r è la costante dielettrica relativa. Nei gas il suo valore è molto vicino all’unità, nei liquidi è molto più alto. Per l’acqua ε_r = 80 C²/Nm² , questo vuol dire che la forza elettrostatica che si esercita nell’acqua è 80 volte minore rispetto a quella nel vuoto.

Abbiamo visto la legge di Coulomb nel caso di due cariche puntiformi. Se esse sono più di due ? Come calcoliamo la forza che due cariche +q₁ e -q₂ esercitano su di una terza carica +q ?

Dividiamo il problema in due sottoproblemi. Prima consideriamo la sola carica q₁ la quale esercita la forza F₁ su q, poi consideriamo la sola q₂ che esercita la forza F₂ sempre su q. Infine sommiamo vettorialmente F₁ e F₂.

Agisce la sola carica q₁

Agisce solo la carica q₂

Infine sommiamo vettorialmente le due forze.

Abbiamo applicato il principio di sovrapposizione. Esso vale, con le stesse modalità anche nel caso generale di n forze.

Ripartiamo dall’espressione della legge di Coulomb

$\displaystyle{\mathbf{F_e=K_o\,\frac{Qq}{r^2}}}$

la forza è una grandezza vattoriale, quella scritta sopra è il modulo di F_e , dobbiamo vettorizzarlo. Usiamo un versore che ci dà la direzione di r

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{F}}_e=K_o\,\frac{Qq}{r^2}\,\hat{\mathbf{r}}}}$

r è il versore radiale che ci da la direzione della forza (un versore ha modulo 1, non interviene nel modulo di F). Si usa però un altro modo per esprimere il vettore F_e

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{F}}_e=K_o\,\frac{Qq}{r^2}\,\frac{\overrightarrow{\mathbf{r}}}{\mathbf{r}}}}$

r/r non è altro che un modo per esprimere il versore, infatti quel rapporto ha modulo 1.

Sempre questa relazione, la possiamo scrivere in un terzo modo

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{F}}_e=K_oQq\,\frac{\overrightarrow{\mathbf{r}}}{r^3}}}$

Abbiamo solo fatto una moltiplicazione. La dipendenza dal quadrato della distanza non è affatto cambiata, non dipende da r³ perchè r/r³ ha modulo 1/r² .

Abbiamo così espresso la legge di Coulomb sia con il modulo che vettorialmente. Avrete notato una certa analogia con la forza gravitazionale

$\displaystyle{\mathbf{F_e=K_o\,\frac{Qq}{r^2}\qquad\qquad F_G=G\,\frac{m_1m_2}{r^2}}}$

Vogliamo confrontare queste due forze. Prendiamo due elettroni e mettiamoli a distanza r

$\displaystyle{\mathbf{F_e=K_o\,\frac{e\, e}{r^2}\qquad\qquad F_G=G\,\frac{m_e\, m_e}{r^2}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{F_e=K_o\,\frac{e^2}{r^2}\qquad\qquad F_G=G\,\frac{m_e^2}{r^2}}}$

e = 1,6 × 10^-19 C

m_e = 9,1 × 10^-31 Kg

K_o = 9 × 10⁹ N m²/C²

G = 6,67 × 10^-11 N m2/K_g²

Facciamo il rapporto tra le due forze

$\displaystyle{\mathbf{\frac{F_e}{F_G}=\frac{K}{G}\,\frac{e^2}{m_e^2}=\frac{9\times 10^9\, (1,6\times 10^{-19})^2}{6\times 10^{-11}\, (9,1\times 10^{-31})^2}\simeq 4\times 10^{42}}}$

La forza elettrica è 10⁴² volte maggiore della forza gravitazionale.

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