Dinamica dei fluidi-Equazione di Bernoulli

L’equazione di Bernoulli regola tutta la fluidodinamica.

Abbiamo visto che in condizioni di isoquota là dove la sezione è maggiore la velocità è più bassa, però c’è più pressione. E’ la stessa situazione di una strada che passa da tre a una sola corsia. Dove la strada è più larga la pressione è maggiore e le auto devono rallentare per immettersi nella corsia unica, quando un’auto entra nell’unica corsia aumenta la sua velocità e la pressione diminuisce visto che c’è una sola auto.

Vediamo ora il caso in cui c’è differenza di quota.

In questo tubo abbiamo differenza tra le sezioni di ingresso e di uscita e differenza di quota.

Tra i punti 1 e 2, diciamo di partenza e arrivo, c’è differenza di energia meccanica perchè è presente il lavoro di forze non conservative, ci sono le forze di pressione.

Sappiamo che il lavoro delle forze non conservative è pari alla variazione di energia meccanica

L_NC = E_{2 –}E₁

L’energia meccanica è la somma dell’energia cinetica e dell’energia potenziale, quindi

$\displaystyle{\mathbf{E_1=\frac{1}{2}\, m\, v_1^2+m\, g\, h_1}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{E_2=\frac{1}{2}\, m\, v_2^2+m\, g\, h_2}}$

Risulta

$\displaystyle{\mathbf{L_{NC}=\frac{1}{2}\, m\, v_2^2+m\, g\, h_2-\frac{1}{2}\, m\, v_1^2+m\, g\, h_1}}$

Vediamo il lavoro delle forze di pressione

Per spingere verso l’alto quella massa di acqua occorre contrastare il liquido che spinge giù, ossia dalla parte di sotto devo avere una forza maggiore di -F. ΔF è la forza che produce lavoro, è una forza di pressione.

$\displaystyle{\mathbf{L=\Delta F \, s=\Delta p\, S\, s=(p_2-p_1)\, V}}$

s minuscolo è lo spostamento della massa di acqua, S maiuscolo è la sezione del tubo, V è il volume di acqua. Questo lavoro lo sostituiamo nell’equazione di prima.

$\displaystyle{\mathbf{(p_2-p_1)\, V=\frac{1}{2}\, m\, v_2^2+m\, g\, h_2-\frac{1}{2}\, m\, v_1^2+m\, g\, h_1}}$

Dividiamo tutto per V volume e ricordiamoci che ρ = V/m (densità)

$\displaystyle{\mathbf{p_2-p_1=\frac{1}{2}\, \rho\, v_2^2+\rho\, g\, h_2-\frac{1}{2}\, \rho\, v_1^2+\rho\, g\, h_1}}$

Portiamo tutti i termini con indice 1 a sinistra e quelli con indice 2 a destra

$\displaystyle{\mathbf{p_1+\frac{1}{2}\, \rho\, v_1^2+\rho\, g\, h_1=p_2+\frac{1}{2}\, \rho\, v_2^2+\rho\, g\, h_2}}$

Questo vuol dire che

$\displaystyle{\mathbf{p+\frac{1}{2}\, \rho\, v^2+\rho\, g\, h= cost}}$

Si deve conservare questo trinomio.

Questa è l’equazione di Bernoulli e vale per moti stazionari di fluidi incomprimibili e non viscosi. Tutte le grandezze andrebbero valutate lungo la stessa linea di flusso, ossia quel valore indicato cost non è lo stesso per tutte le linee di flusso. Rimane invece uguale per tutte le linee di flusso se il moto è anche irrotazionale.

Se il condotto è orizzontale non c’è variazione di quota, h è sempre la stessa e l’equazione di Brnoulli diventa

$\displaystyle{\mathbf{p+\frac{1}{2}\, \rho\, v^2=cost}}$

Si vede che se aumenta la velocità la pressione deve diminuire.

Vediamo un caso interessante

Una cisterna piena si svuota attraverso un piccolo foro posto in basso.

Vogliamo trovare a che velocità fuoriesce l’acqua dal piccolo foro.

Applichiamo Bernoulli che ci dice che la situazione mista, pressione cinetica e potenziale in ingresso deve essere uguale a quella in uscita.

Vediamo i livelli di pressione. In 2 (in alto) abbiamo la pressione atmosferica, la sezione 2 è a contatto con l’aria, in 1 l’acqua è libera e stà a contatto con l’atmosfera, quindi anche qui subisce la pressione atmosferica.

P₁ = P₂ = P₀

Vediamo le velocità. Quella in 1 è quella che vogliamo trovare, in 2 dobbiamo notare che se la cisterna si svuota molto lentamente l’acqua è praticamente ferma, inoltre S₂ >> S₁ il che fà v₂ molto piccola. Poniamo allora v₂ ≅ 0.

Di tutta l’equazione ci rimane

$\displaystyle{\mathbf{\frac{1}{2}\, \rho\, v_1^2+\rho\, g\,h_1=\rho\, g\, h_2}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{\frac{1}{2}\, \rho\, v_1^2=(\rho\, g)(h_2-h_1)}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{\frac{1}{2}\, \rho\, v_1^2=\rho\, g\,h}}$

Visto che consideriamo il liquido incomprimibile semplifichiamo la densità ρ

$\displaystyle{\mathbf{\frac{1}{2}\, v_1^2= g\,h}}$

Ora ricaviamo la velocità

$\displaystyle{\mathbf{v_1=\sqrt{2\, g\, h}}}$

Guardate cosa abbiamo ritrovato, l’onnipresente radice di 2gh. La velocità è legata al dislivello h. La velocità è uguale a quella che il liquido acquisterebbe se cadesse liberamente dall’altezza h.