Formule di duplicazione

Le formule di duplicazione ci permettono di conoscere il valore delle funzioni goniometriche dell’angolo di ampiezza 2α a partire da quelle di ampiezza α.

Per dirla in maniera più semplice, possiamo trovare i valori del sen(2α), del cos(2α), . . conoscendo senα, cosα, . .

Iniziamo dal sen(2α) che scriviamo come

sen(2α) = sen(α +α)

A questa applichiamo la formula di addizione del seno

sen(2α) = sen(α +α) = senα cosα + cosα senα

sen(2α) = 2 senα cosα

Passiamo al cos(2α)

cos(2α) = cos(α + α)

Applichiamo la formula di addizione del coseno

cos(2α) = cos(α + α) = cosα cosα – senα senα

cos(2α) = cos²α – sen²α

Questo non è l’unico modo per esprimere il cos(2α). Infatti, se ci ricordiamo che

sen²α + cos²α = 1

ci ricaviamo cos²α

cos²α = 1 – sen²α

e lo sostituiamo nella relazione che esprime cos(2α) otteniamo

cos(2α) = 1 -2 sen²α

Ancora, se invece ricaviamo sen²α = 1 – cos²α otteniamo

cos(2α) = 2 cos²α – 1

Anche per la tangente sfruttiamo la sua formula di addizione

$\displaystyle{\mathbf{\tan (\alpha +\beta )=\frac{\tan\alpha +\tan\beta}{1-\tan\alpha \tan\beta}}}$

dove poniamo α = β

$\displaystyle{\mathbf{\tan (2\alpha) =\frac{2\tan\alpha}{1-\tan ^2\alpha}}}$

Nel caso della tangente dobbiamo togliere tutti quei valori di α nei quali essa non è definita

$\displaystyle{\mathbf{\alpha \neq \frac{\pi}{2}+K\pi}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{\alpha \neq \frac{\pi}{4}+K\,\frac{\pi}{2}}}$

La seconda relazione è per l’angolo di 2α.

Infine vediamo la formula di duplicazione per la cotangente facendo esattamente come visto per la tangente

$\displaystyle{\mathbf{\cot (\alpha +\beta )=\frac{\cot\alpha \cot\beta -1}{\cot\alpha + \cot\beta }}}$

poniamo α = β

$\displaystyle{\mathbf{\cot (2\alpha )=\frac{\cot ^2 \alpha -1}{2\cot\alpha}}}$

Valida per α ≠ K π/2

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