Primo principio della termodinamica

Finalmente siano in grado di affrontare il primo principio della termodinamica.

Consideriamo un sistema termodinamico al quale forniamo calore.

Riscaldiamo un gas contenuto in un recipiente dotato di un pistone mobile.

Il gas si espande e il pistone si solleva, abbiamo ottenuto lavoro termidinamico. Il calore, che è una forma di energia, che abbiamo dato si traduce in lavoro.

E’ possibile trasformare calore in lavoro, ma il sistema ha cambiato le sue condizioni, il gas ha aumentato la sua temperatura, quindi la sua energia interna. Non abbiamo ottenuto solo lavoro, una quota di energia è servita a scaldare il gas, ad accrescere la sua energia interna.

Il calore assorbito non può diventare tutto lavoro meccanico.

$\displaystyle{\mathbf{Q=\Delta U+L}}$

Q = calore assorbito

ΔU = variazione di energia interna

L = Lavoro

Questa espressione costituisce il primo principio della termodinamica.

Se applichiamo il principio istante per istante, ossia se consideriamo trasformazioni infinitesime, avremo

$\displaystyle{\mathbf{dQ=dU+dL}}$

Il termine dU rappresenta un’energia mista, è l’energia che hanno le molecole all’interno del gas. Nei gas perfetti questa energia dipende solo dalla temperatura, è proporzionale alla temperatura.

$\displaystyle{\mathbf{dU=c_vdT}}$

Ricordando che L = p dV

$\displaystyle{\mathbf{dQ=c_vdT+pdV}}$

Questo costituisce il primo principio della termodinamica per i gas perfetti.

Specializziamo quanto detto per diverse trasformazioni.

Trasformazione isocora

In una isocora il volume non varia, il pistone è bloccato

$\displaystyle{\mathbf{pdV=0}}$

Il calore fornito a volume costante risulta

$\displaystyle{\mathbf{dQ_v=c_vdT}}$

Tutto il calore fornito va in aumento della temperatura, quindi dell’energia interna.

c_v è il calore specifico a volume costante

$\displaystyle{\mathbf{c_v=\frac{dQ_v}{dT}}}$

Quanto calore dobbiamo fornire per aumentare di 1 grado la temperatura del gas.

Non abbiamo però informazioni sulla quantità del gas. Introduciamo allora il calore molare C_v che è la quantità di calore necessaria per scaldare una kmole

$\displaystyle{\mathbf{nC_v=c_v=\frac{dQ_v}{dT}}}$

Trasformazione Isobara

E’ una trasformazione a pressione costante

$\displaystyle{\mathbf{dQ_p=c_vdT+pdV}}$

Del calore fornito una parte va ad incrementare l’energia interna e un’altra parte produce lavoro.

Se ora consideriamo l’equazione dei gas perfetti

$\displaystyle{\mathbf{pV=nRT}}$

e differenziamo ambo i membri

$\displaystyle{\mathbf{d(pV)=d(nRT)}}$

otteniamo

$\displaystyle{\mathbf{p\, dV+V\, dp=nRdT}}$

ricordiamo che n e R sono delle costanti.

Dato che la trasformazione è isobara, P = cost, il termine V dp = 0

$\displaystyle{\mathbf{pdV=nRdT}}$

In questo caso il termine del lavoro lo possiamo esprimere come nRdT e il primo principio della termodinamica per una trasformazione isobara diventa

$\displaystyle{\mathbf{dQ_p=c_vdT+nRdT=(c_v+nR)dT}}$

Poniamo

$\displaystyle{\mathbf{c_p=c_v+nR}}$

c_p è il calore specifico per una trasformazione a pressione costante.

$\displaystyle{\mathbf{dQ_p=c_p\, dT}}$

Introduciamo anche qui il calore molare, questa volta a p = cost.

$\displaystyle{\mathbf{n\, C_p=c_p=\frac{dQ_p}{dT}}}$

Il calore specifico ci dice quanto calore dobbiamo dare per aumentare la temperatura, se

$\displaystyle{\mathbf{c_p=c_v+nR}}$

allora c_p > c_v _,il calore specifico a pressione costante è sempre maggiore di quello a volume costante. Questo è ovvio perchè se il volume non può aumentare (pistone bloccato), il calore fornito va solo ad aumentare l’energia interna, va tutto in aumento di temperatura. Se invece il volume può aumentare, il calore, in parte va ad aumentare la temperatura e, un’altra parte diventa lavoro utile.

Trasformazione isoterma

Questa volta ad essere costante è la temperatura

$\displaystyle{\mathbf{dQ=c_vdT+pdV}}$

dT = 0

$\displaystyle{\mathbf{dQ=pdV}}$

Il calore va integralmente in lavoro, non aumenta l’energia interna del gas.

$\displaystyle{\mathbf{dQ=dL}}$

Purtroppo il pistone non può alzarsi all’infinito, si deve tornare indietro alle condizioni iniziali e ripetere la trasformazione, se si vuole lavoro continuativo. Una singola trasformazione isoterma non basta ad ottenere lavoro.

Ecco le conclusioni cui siamo giunti fino ad ora

	Equazione di stato	Lavoro	Calore	Energia interna
Isocora	P/T = cost	0	nC_vΔT	nC_vΔT
Isobara	V/T = cost	nRΔV	nC_pΔT	nC_vΔT
Isoterma	pV = cost	nRTln(V₂/V₁)	nRTln(V₂/V₁)	0

L’energia interna è sempre c_vΔT tranne nell’isoterma nella quale è nulla ed il calore fornito è integralmente lavoro.

Nella prossima lezione approfondiremo il concetto di calore specifico.

Prossima lezione Calore specifico