Lavoro

Il lavoro lega il concetto di forza applicata ad una massa m allo spostamento subito.

Ci sono forze che producono spostamento e forze che non lo producono. (Se spingiamo contro un muro non produciamo alcun movimento).

Il lavoro e’ una grandezza meccanica che indica se la forza produce spostamento.

Dato che la forza e lo spostamento sono vettori, il loro prodotto puo’ essere scalare o vettoriale. Si definisce lavoro il prodotto scalare tra la forza F e lo spostamento ΔS

$\displaystyle{\mathbf{L=\overrightarrow{F}\cdot\Delta\overrightarrow{S}}}$ .

L = FΔScosθ

L e’ una grandezza scalare.

Ci tornera’ utile saper calcolare il lavoro come prodotto delle sue componenti. Per far questo scomponiamo F e ΔS lungo gli assi x, y e z

$\displaystyle{L=\overrightarrow{F}\cdot\Delta\overrightarrow{S}=(F_x\hat{\imath}+F_y\hat{\jmath}+F_z\hat{k})\cdot (\Delta X\hat{\imath}+\Delta Y\hat{\jmath}+\Delta Z\hat{k})}$ .

Dobbiamo svolgere i prodotti scalari, ricordiamo che

$\displaystyle{\hat{\imath}\cdot\hat{\imath}=ii\cos0^0=1}$ .

$\displaystyle{\hat{\imath}\cdot\hat{\jmath}=ij\cos90^0=0}$ .

$\displaystyle{\hat{\imath}\cdot\hat{k}=ik\cos90^0=0}$ .

e cosi’ via, alla fine rimangono solamente

$\displaystyle{L=\overrightarrow{F}\cdot\Delta\overrightarrow{S}=F_x\Delta X+F_y\Delta Y+F_z\Delta Z}$ .

Questo e’ il lavoro visto come prodotto delle componenti.

Unita’ di misura

Nel S.I. l’unita’ di misura del lavoro e’ il Joule che corrisponde al lavoro compiuto dalla forza di 1N per produrre uno spostamento di 1 m parallelamente alla direzione della forza.

J = N m = Kg m² s^-2

Nel sistema C.G.S. l’unita’ e’ l’erg

erg = dyn cm = g cm² s^-2

1J = 10⁷erg

Notiamo che il lavoro puo’ essere positivo, negativo o nullo

positivo

negativo

Ma che significa lavoro negativo ? Stiamo tirando un oggetto da un lato e lui comunque si muove dall’altro. Puo’ ad esempio voler dire che c’e’ qualche altra forza che sta’ agendo. Il nostro lavoro e’ nagativo perche’ non riusciamo ad ottenere il nostro scopo.

Lo scopo di una forza e’ quello di muovere un oggetto piu’ o meno nella sua direzione, se l’oggetto si muove in quella opposta il lavoro e’ negativo.

Il lavoro e’ nullo quando non c’e’ movimento o quando lo spostamento e’ perpendicolare alla forza. Quindi L =0 se tento di spostare un macigno o se cammino con un peso in mano, nel primo caso non sposto niente, nel secondo spostamento e direzione della forza sono perpendicolari.

Cerchiamo di spiegare il tutto con un esempio

Sulla massa M agiscono quattro forze, per avere il lavoro totale dobbiamo valutare il lavoro di ogni forza perche’ tutte concorrono al movimento.

Dati : F = 100N ; μ_d = 0,15 ; ΔS = 40m ; θ = 30⁰ ; M = 50 kg

Iniziamo con il calcolarci tutte le forze tranne la F che conosciamo

P = M g = 50 x 9,8 = 490N

Per calcolarci Rn scriviamo il secondo principio proiettato lungo l’asse z

Rn + Fsinθ – P = 0 non c’e’ movimento lungo l’asse z

Rn = P – Fsinθ = 490 – 100sin30 = 440N

Per ricavarci Ad usiamo il coefficiente di attrito

Ad = μ_d Rn = 0,15 x 440 = 66N

Calcolate tutte le forze possiamo trovare il lavoro di ogni singola forza sapendo che

$\displaystyle{L=\overrightarrow{F}\cdot\Delta\overrightarrow{S}=F\Delta S\cos\theta}$ .

Forza esterna F : L_F = FΔScosθ = 100x40cos30⁰ = 3464J

Forza peso P : L_P = PΔScos90⁰ = 490x40cos90⁰ = 0 l’angolo tra P e spostamento e’ di 90⁰

Reazione vincolare Rn : L_Rn = 0 per lo stesso motivo di prima Rn e spostamento sono perpendicolari.

Attrito dinamico Ad : L_Ad = Ad ΔScos180⁰ = -Ad ΔS perche’ cos180⁰ = -1

Il lavoro di Ad e’ negativo

L_Ad = – 66x40 = – 2,6 KJ Ad cerca di frenare la massa

Lavoro complessivo

L_T = L_F + L_P + L_Rn + L_Ad = 0,9 KJ

Fino ad ora abbiamo considerato forze costanti durante il moto e spostamenti rettilinei. Se la forza non e costante e lo spostamento avviene lungo una linea curva, si puo’ immaginare di decomporre la curva in tanti spostamenti infinitesimi ds di componenti dx, dy, dz e ritenere la forza costante durante lo spostamento ds.

Definiamo allora lavoro elementare in corrispondenza

ad uno spostamento ds

$\displaystyle{dL=\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{s}}$ .

Abbiamo gia’ calcolato questo prodotto scalare

$\displaystyle{dL=F_xdx+F_ydy+F_zdz}$ .

Il lavoro compiuto dalla forza quando il punto si sposta da A a B lungo la curva C sara’ dato dalla somma di tutti i lavori elementari, quindi dall’integrale di linea lungo la curva C

$\displaystyle{\mathbf{L=\int_{A,C}^{B}\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{s}=\int_{A,C}^{B}F_xdx+F_ydy+F_zdz}}$ .

In generale il lavoro e’ l’integrale di linea della forza lungo il percorso C dalla posizione iniziale a quella finale.

Nella prossima lezione vedremo la differenza tra forze conservative e non conservative e la conseguenza sul lavoro da esse compiuto.

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Lavoro

Prossima lezione Forze conservative