Ruota che scende lungo un piano inclinato

Poniamo la ruota su di un piano inclinato e lasciamola cadere

Vogliamo trovare :

L’attrito richiesto per il rotolamento
L’accelerazione del sistema
La velocita’ finale

Iniziamo a studiarci le forze

La forza peso P e’ applicata nel baricentro, la reazione vincolare R_n e’ applicata nel punto di contatto ruota – piano inclinato. In assenza di attrito non c’e’ rotolamento, ma solo slittamento. Ricordiamoci che nel rotolamento il punto di contatto e’ fermo.

Scriviamo la prima equazione cardinale proiettata lungo gli assi t e n

$\displaystyle{\mathbf{\begin{cases} n\; : \; R_n-P\cos\alpha =0 \\ t\; :\; P\sin\alpha-A_S=m\cdot a_t \end{cases}}}$

non mettete a_n in questa equazione, il centro di massa sta’ traslando lungo il piano inclinato.

Scriviamo la seconda equazione cardinale, la studiamo rispetto al centro della ruota

$\displaystyle{M_P+M_{R_n}+M_{A_S}=I_C\cdot \alpha}$

I momenti della forza peso P e della reazione R_n sono nulli perche’ non hanno braccio

$\displaystyle{M_{A_S}=A_S\cdot b=A_S\cdot r\;\longrightarrow\; A_S\cdot r=I_C\cdot \alpha}$

Ne deduciamo che e’ A_S che fa’ accelerare la ruota.

Se c’e’ rotolamento sappiamo che l’accelerazione a_C del centro di massa e l’accelerazione angolare della ruota sono legate dalla relazione a_C = α r

$\displaystyle{A_S\cdot r=I_C\cdot\alpha=I_C\,\frac{a_c}{r}}$

Da questa ricaviamo l’attrito, che sappiamo essere statico

$\displaystyle{A_S=\frac{I_C}{r^2}\,a_c}$

Questa la mettiamo nella proiezione lungo t della prima equazione cardinale

$\displaystyle{P\sin\alpha-A_S=ma_c\;\longrightarrow\;P\sin\alpha-\frac{I_C}{r^2}\, a_c=ma_c}$

Sostituiamo a P la sua espressione mg e a secondo membro mettiamo in evidenza ma_C

$\displaystyle{mg\sin\alpha=ma_c\left (\frac{I_C}{mr^2}+1\right )}$

Possiamo ora ricavarci a_C

$\displaystyle{a_c=\frac{g\sin\alpha}{1+\frac{I_C}{mr^2}}}$

Se non ci fosse rotazione ritroviamo a = g sinα ruotando c’e’ un rallentamento, non scivola e basta, sta’ anche ruotando.

Studio di A_S attrito statico

$\displaystyle{A_S=\frac{I_C}{r^2}\, a_c=\frac{I_C}{r^2}\,\frac{g\sin\alpha}{1+\frac{I_C}{mr^2}}}$

moltiplico e divido per la massa m, per rendere piu’ evidente una conclusione a cui stiamo per arrivare

$\displaystyle{A_S=\frac{\frac{I_C}{mr^2}}{1+\frac{I_C}{mr^2}}\, mg\sin\alpha}$

in questo modo si vede chiaramente che la frazione a secondo membro e’ < 1, quindi A_S e’ < mgsinα

Imponiamo ora A_S ≤ A_MAX = μ_S R_n

$\displaystyle{\frac{\frac{I_C}{mr^2}}{1+\frac{I_C}{mr^2}}\, mg\sin\alpha \leq\mu_sR_n=\mu_smg\cos\alpha}$ .

$\displaystyle{\frac{\frac{I_C}{mr^2}}{1+\frac{I_C}{mr^2}}\, \sin\alpha \leq\mu_s\cos\alpha}$ .

$\displaystyle{\mu_s\geq\tan\alpha\, \frac{\frac{I_C}{mr^2}}{1+\frac{I_C}{mr^2}}}$

Per il semplice punto materiale era μ_S ≥ tanα, adesso la condizione di staticita’ e’ piu’ facile da ottenere perche’ tanα e’ moltiplicata per un fattore < 1. Il rotolamento si innesca in condizioni piu’ semplici del tenerlo fermo.

Calcoliamo ora la velocita’ finale

$\displaystyle{a_c = \frac{g\sin\alpha}{1+\frac{I_C}{mr^2}}}$

Sappiamo che V = a t , che s = 1/2 a t² e che siamo alla fine del piano inclinato quando s = h/sinα

$\displaystyle{s=\frac{h}{\sin\alpha}=\frac{1}{2}\, at^2\; \longrightarrow\; t=\sqrt{\frac{2h}{a\sin\alpha}}}$

mettiamo a_C in luogo di a e calcolandoci V

$\displaystyle{v=a\, t=a\,\sqrt{\frac{2h}{a\sin\alpha}}=\sqrt{\frac{2ah}{\sin\alpha}}=\sqrt{\frac{2gh}{1+\frac{I_C}{mr^2}}}}$

Vediamo che la velocita’ e’ diminuita dal denominatore, che e’ >1, esso rallenta la discesa.

Quanto trovato lo possiamo anche ottenere dal teorema di conservazione dell’energia meccanica E_m , ricordiamo che A_S non compie lavoro

E_m1 = mgh situazione di partenza, ruota ferma a quota h

alla fine del piano inclinato la ruota ha l’energia cinetica di traslazione e l’anergia cinetica di rotazione

$\displaystyle{E_{m2}=\frac{1}{2}\, mv_c^2+\frac{1}{2}\, I_c\, \omega^2}$

ora imponiamo la condizione di rotolamento

$\displaystyle{v_c=\omega\, r\; \longrightarrow\; \omega=\frac{v}{r}}$

la sostituiamo in E_m2

$\displaystyle{E_{m2}=\frac{1}{2}\, mv_c^2+\frac{1}{2}\, I_c\,\frac{v_c^2}{r^2}=\frac{1}{2}\, mv_c^2\left (1+\frac{I_c}{mr^2}\right )}$

Imponiamo E_m1 = E_m2

$\displaystyle{mgh=\frac{1}{2}\, mv_c^2\left (1+\frac{I_c}{mr^2}\right )\; \longrightarrow\; v_c=\sqrt{\frac{2gh}{1+\frac{I_c}{mr^2}}}}$

stesso risultato di prima.

Vediamo un altro esempio, la palla da booling.

I like physics

Ruota che scende lungo un piano inclinato

Prossima lezione Palla da booling