Moto con traiettoria giacente in un piano

E’ arrivato il momento di vedere qualche cosa di piu’ complesso. Vogliamo studiare il moto di un punto che si muove lungo una traiettoria qualsiasi, in un piano, ma non tramite il raggio vettore e le sue componenti, ma con l’ascissa curvilinea s(t), ossia l’equazione che ci dice come varia lo spazio percorso,s, in funzione del tempo. In pratica lavoriamo sulla traiettoria e non tramite scomposizione lungo gli assi. Studiamo il moto con traiettoria giacente in un piano.

Consideriamo allora un punto materiale P che si muove lungo una curva S con velocita’ V

Sappiamo che la velocita’ e’ un vettore tangente alla traiettoria. Se introduciamo il versore τ tangente sempre alla traiettoria, possiamo esprimere la velocita’ come

$\displaystyle{\mathbf{ \overrightarrow{v} = v \hat{\tau}}}$

V e’ la velocita’ scalare, il modulo, e $\displaystyle{\mathbf{\hat {\tau}}}$ ci da’ la rirezione e il verso di V.

Ricordiamo anche che

$\displaystyle{\mathbf{v = \frac{ds}{dt}}}$

con V velocita’ scalare e s ascissa curvilinea.

Vogliamo trovare il vettore accelerazione

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{a} = \frac{d\overrightarrow{v}}{dt} = \frac{d}{dt} (v \hat{\tau})}}$

Ci troviamo davanti ad una derivata un po’ particolare, vediamo come operare.

V dipende dal tempo, la velocita’ nel tempo puo’ variare nel caso generale, quindi e’ soggetta a derivazione. Anche il versore τ dipende dal tempo perche’ e’ legato alla curvatura della traiettoria, quindi varia la sua direzione nel tempo.

Importante da notare, allora, che un’accelerazione puo’ nascere sia se varia il modulo di V, sia se varia la direzione di V. Vediamo meglio questo concetto :

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow {a} = \frac{d}{dt} (v \hat{\tau})= \frac{dv}{dt} \hat {\tau} + v \frac{d\hat {\tau}}{dt}}}$

Abbiamo applicato la derivazione di un prodotto. Il primo termine ci da’ la variazione del modulo della velocita nel tempo, il secondo la variazione di direzione. Allora l’accelerazione ha due componenti di cui una dovuta alla variazione in modulo della velocita’ e l’altra dovuta alla variazione di direzione della velocita’.

Vediamo la prima :

$\displaystyle{\mathbf{\hat {\tau} \frac{dv}{dt}}}$ Questa ha la direzione di $\displaystyle{\mathbf{\hat {\tau}}}$ . E’ la componente tangenziale, a_t

Vediamo la seconda :

$\displaystyle{\mathbf{v \frac{d\hat{\tau}}{dt}}}$ . Non ha la direzione del versore ma ha direzione normale alla curvatura e costituisce la componente normale della velocita’ a_n .

Questa componente e’ ortogonale alla prima perche’ la derivata di un versore e’ ortogonale al versore. Non ci credete ? Dimostriamolo :

Prima di tutto vediamo quanto vale il prodotto scalare di un versore per se stesso

$\displaystyle{\mathbf{\hat{\tau} \cdot \hat{\tau} = \tau \tau cos \alpha = 1}}$

Possiamo allora porre

$\displaystyle{\mathbf{\frac{d}{dt}(\hat{\tau}\cdot \hat{\tau}) = \frac{d}{dt}(1) =0}}$

Se sviluppo la derivata del prodotto scalare

$\displaystyle{\mathbf{\frac{d}{dt}(\hat{\tau}\cdot \hat{\tau}) =\frac{d\hat{\tau}}{dt}\cdot \hat{\tau} + \hat {\tau}\cdot \frac{d\hat{\tau}}{dt} = 2 \frac{d\hat{\tau}}{dt}\cdot \hat{\tau} = 0}}$

Poichè abbiamo stabilito prima che il prodotto scalare dei due versori e’ uguale a 1, quindi la derivata e’ uguale a zero. Quando il prodotto di due vettori o versori e’ nullo ? Quando sono ortogonali, dato che cos 90⁰ = 0. Questo vuol dire che il versore e la sua derivata stanno a 90⁰, sono ortogonali.

Possiamo affermare che se

$\displaystyle{\mathbf{\,\hat{\tau} e'\, tangenziale \frac{d\hat{\tau}}{dt}\, e'\, normale}}$

Prima di andare avanti dobbiamo dare alcune definizioni

– Cerchio osculatore e raggio di curvatura

Riprendiamo la nostra traiettoria, il punto materiale e consideriamo le circonferenze tangenti alla traiettoria nel punto P

Di queste circonferenze ce ne sono infinite, noi cerchiamo quella che si approssima meglio alla curva nel punto P, ossia quella che ricalca meglio la curvatura della traiettoria. L’analisi matematica ci dice che questo cerchio e’ quello che ha piu’ di due punti in comune con la traiettoria e viene detto cerchio osculatore.

C e’ detto centro di curvatura

ρ e’ detto raggio di curvatura

Da notare che se ci spostiamo in un altro punto della traiettoria il cerchio osculatore cambia, quindi anche il raggio di curvatura.

Dopo queste considerazioni dovrebbe essere chiaro che, nell’intorno del punto P possiamo confondere la traiettoria con il cerchio osculatore e considerare il moto lungo la circonferenza invece che lungo la traiettoria.

Ed ecco la traiettoria con il cerchio sculatore, il raggio di curvatura, il centro di curvatura e i due versori tangenziale e normale.

Cerchiamo ora un modo per esprimere a_n. Prendiamo il cerchio osculatore e su di esso due posizioni assunte dal punto materiale, che denotiamo con i pedici 1 e 2.

Abbiamo anche considerato i triangoli formati dai raggi e dai versori tangenti. Questi due triangoli sono entrambi isosceli perche’ r₁ = r₂ e τ₁=τ₂. Parliamo dei moduli, i versori hanno modulo pari a 1. Inoltre l’angolo compreso e’ uguale, quindi quei due triangoli sono equivalenti e possiamo porre :

$\displaystyle{\mathbf{\Delta \tau : \tau_1 = \Delta r :r_1 \Longrightarrow \tau_1\cdot \Delta r = \Delta \tau \cdot r_1 \Longrightarrow \Delta \tau = \frac{\tau_1 \Delta r}{r_1} = \frac{1 \cdot \Delta r}{r_1} = \frac{\Delta r}{\rho}}}$

Perche’ τ₁ = 1 e r₁ = ρ.

Passando al limite pet Δt→0, quindi facendo tendere il punto 2 al punto 1 :

$\displaystyle{\mathbf{\frac{d\tau}{dt} = \frac{dr}{dt} \frac{1}{\rho}}}$

Allora :

$\displaystyle{\mathbf{a_n = v\frac{d\hat{\tau}}{dt} = v \frac{dr}{dt} \frac{1}{\rho} = \frac{v^2}{\rho} \cdot \hat{n}}}$ . – Abbiamo sostituito a $\displaystyle{\mathbf{\frac{dr}{dt}}}$ , la velocita’ V.

Quindi :

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{a} = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(v\cdot \hat{\tau}) = \frac{dv}{dt}\cdot \hat{\tau} + v\cdot\frac{d\hat{\tau}}{dt} = \frac{dv}{dt}\cdot \hat{\tau} +\frac{v^2}{\rho} \cdot\hat{n}}}$

O anche :

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{a} = a_t\hat{\tau} + a_n \hat{n}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{a_t = \frac{dv}{dt}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{a_n = \frac{v^2}{\rho}}}$

Questo risultato e’ da tenere bene in mente perche’ ci servira’ per tutti i moti che avvengono su traiettoria qualsiasi, non rettilinea.

L’accelerazione complessiva a, nel caso generale, non e’ ne’ tangente, ne’ normale alla traiettoria, ma sara’ data dalla composizione di a_t e a_n .

Un’ultima osservazione. Da quanto trovato vediamo che piu’ piccolo e ρ piu’ a_n e’ grande. Una curva a U e’ quella con un ρ mplto piccolo, quindi pericolosa. Il problema del raggio di curvatura non c’e’ se ci muoviamo lungo una retta perche’ ρ→∝ e a_n→0, in tal caso l’unica accelerazione presente e’ a_t .

a_n c’e’ solo in presenza di una curvatura .

Nella seconda parte di questa lezione applicheremo quanto visto al caso di un moto parabolico.

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