Approfondimento sull’induzione elettromagnetica

Nella lezione scorsa, sulla legge di Faraday Neumann Lenz , abbiamo introdotto il concetto di induzione elettromagnetica. La variazione del flusso concatenato con un circuito crea una forza elettromotrice indotta e, se il circuito è chiuso, in esso prende a scorrere una corrente indotta. Vogliamo ora fare un approfondimento sull’induzione elettromagnetica.

Se un conduttore è immerso in un campo magnetico che varia nel tempo, le sue cariche libere prendono a muoversi. Il campo magnetico variabile disloca le cariche elettriche. Affinché questo possa avvenire, su di esse deve agire una forza. Nel caso di induzione da movimento, questa forza, che è la forza di Lorentz, genera un campo indotto E_i(dovuto proprio alla dislocazione delle cariche elettriche) ed esiste solo nelle parti del circuito dove la forza fa muovere le cariche. Nel caso di circuiti fermi, il campo indotto E_iè spiegabile con la relatività e la sua esistenza, nel sistema solidale con il circuito è indipendente dalla presenza del circuito.

Cerchiamo di capire questi concetti e di arrivare alla formulazione della legge di Faraday Neumann Lenz che abbiamo dato per buona la lezione scorsa.

Come prima cosa dobbiamo ricordare la definizione di forza elettromotrice in un circuito, essa è pari al lavoro totale che tutte le forze presenti compiono per spostare l’unità di carica lungo il circuito.

$\displaystyle{\mathbf{f.e.m. =\oint \overrightarrow{\mathbf{E}}\cdot d\overrightarrow{\mathbf{L}}}}$

Nel caso della f.e.m. indotta il campo è E_{i ,}campo indotto. Se applichiamo la legge di Faraday Neumann Lenz, che ci dice che la forza indotta è pari alla variazione del flusso concatenato con il circuito, otteniamo

$\displaystyle{\mathbf{f_i =\oint \overrightarrow{\mathbf{E}}_i\cdot d\overrightarrow{\mathbf{L}}=-\frac{d\Phi_C(\overrightarrow{\mathbf{B}})}{dt}}}$

La circuitazione del campo indotto non è nulla. Il campo E_inon è conservativo.

Nel caso stazionario, o anche in elettrostatica, invece, il campo elettrico è conservativo, la sua circuitazione risulta nulla e si può definire un’energia potenziale elettrica.

La variazione di un campo magnetico crea un campo elettrico che non è conservativo.

Approfondimento sull’induzione elettromagnetica da movimento

Il circuito è formato da una spira che presenta una parte mobile, la barretta in verde AC, che si muove a velocità v in un campo magnetico B uniforme.

Sulle cariche mobili della barretta AC in movimento agisce la forza di Lorentz che genera il campo indotto E_i(nel tratto in moto AC).

$\displaystyle{\mathbf{ \overrightarrow{\mathbf{E}}_i=\frac{ \overrightarrow{\mathbf{F}}_L}{q}=\overrightarrow{\mathbf{v}}\times\overrightarrow{\mathbf{B}}}}$

Questo è il campo che agisce. Potrebbe essere presente anche un eventuale campo elettrostatico E_S, ad esempio dovuto a delle cariche. Mettiamoci anche questo così vediamo bene la differenza.

Campo totale

$\displaystyle{\mathbf{ \overrightarrow{\mathbf{E}}=\overrightarrow{\mathbf{E}}_i+ \overrightarrow{\mathbf{E}}_S}}$

Forza elettromotrice indotta

$\displaystyle{\mathbf{f_i =\oint \overrightarrow{\mathbf{E}}\cdot d\overrightarrow{\mathbf{L}}=\oint \overrightarrow{\mathbf{E}}_S\cdot d\overrightarrow{\mathbf{L}}+\oint \overrightarrow{\mathbf{E}}_i\cdot d\overrightarrow{\mathbf{L}}}}$

La circuitazione è calcolata lunga la linea chiusa che costituisce tutto il circuito, nel verso scelto come positivo, ad esempio da A verso C.

Il campo E_Sè dovuto a delle cariche elettriche eventualmente presenti, quindi è conservativo, la sua circuitazione è nulla.

$\displaystyle{\mathbf{f_i =\oint \overrightarrow{\mathbf{E}}_i\cdot d\overrightarrow{\mathbf{L}}}}$

Il campo indotto E_i è presente solo lungo il tratto AC

$\displaystyle{\mathbf{f_i =\int_A^C \overrightarrow{\mathbf{E}}_i\cdot d\overrightarrow{\mathbf{L}}=\int_A^C \overrightarrow{\mathbf{v}}\times\overrightarrow{\mathbf{B}}\cdot d\overrightarrow{\mathbf{L}}}}$

v è la velocità della barretta

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{V}}=\frac{d\overrightarrow{\mathbf{s}}}{dt}}}$

Occupiamoci dell’espressione dentro l’integrale

$\displaystyle{\mathbf{\frac{d\overrightarrow{\mathbf{s}}}{dt}\times \overrightarrow{\mathbf{B}}\cdot d\overrightarrow{\mathbf{L}}=\frac{d}{dt}\Bigl (\overrightarrow{\mathbf{s}}\times\overrightarrow{\mathbf{B}}\cdot d\overrightarrow{\mathbf{L}}\Bigr )}}$

B è uniforme, non dipende dal tempo, dL non ha dipendenza dal tempo. Possono entrare ed uscire dalla derivata.

Applicando un paio di volte la regola del prodotto misto otteniamo

$\displaystyle{\mathbf{\frac{d}{dt}\Bigl (d\overrightarrow{\mathbf{L}}\times d\overrightarrow{\mathbf{s}}\cdot\overrightarrow{\mathbf{B}}\Bigr )}}$

dL × ds è un vettore che ha come modulo il prodotto dL ds , ossia la superficie dS’ (vedi figura sopra) e direzione e verso concordi con B, quindi con la normale alla superficie.

$\displaystyle{\mathbf{\frac{d}{dt}\Bigl (dS'\, \hat{n}\cdot \overrightarrow{\mathbf{B}}\Bigr )=\frac{d}{dt}\Bigl (\overrightarrow{\mathbf{B}}\cdot\hat{n}\,dS'\Bigr )}}$

Il prodotto scalare è commutativo.

Allora, se riprendiamo la f.e.m. indotta, si ha

$\displaystyle{\mathbf{f_i =\oint \overrightarrow{\mathbf{E}}_i\cdot d\overrightarrow{\mathbf{L}}=\frac{d\Phi(\overrightarrow{\mathbf{B}})}{dt}=- \frac{d\Phi_C (\overrightarrow{\mathbf{B}})}{dt}}}$

Che è la legge di Faraday Neumann Lenz.

Vediamo ora il caso in cui il circuito non ha parti mobili, ma costituisce un insieme rigido.

In questo caso tutta la spira si muove a velocità V nel campo magnetico uniforme.

Notiamo che sui lati EA e CD la forza di Lorentz che viene ad agire è normale ad essi, al dL, quindi ( V × B ) • dL risulta nullo.

Gli effetti della forza di Lorentz si hanno solo sui tratti AC e ED. Però, su questi lati, la forza produce due forze elettromotrici indotte uguali ed opposte. La f.e.m. indotta totale risulta nulla.

Quello che si ha è un addensamento di cariche opposte sui due lati. Tutto questo è in accordo con la legge di Faraday Neumann Lenz, infatti il flusso concatenato con il circuito non varia perché la spira è tutta immersa nel campo magnetico uniforme.

Tutto cambia se il campo magnetico è non uniforme.

Campo non uniforme Come campo magnetico possiamo utilizzare quello generato da un filo rettilineo che sappiamo essere non uniforme. Esso varia con la distanza dal filo, più ci allontaniamo e meno intenso diventa il campo.

La spira, il nostro sistema rigido, si sta muovendo a velocità V in un campo non uniforme.

La f.e.m indotta, ossia il lavoro compiuto dalla forza per spostare la carica unitaria lungo il circuito è

$\displaystyle{\mathbf{f_i =\oint \overrightarrow{\mathbf{E}}_i\cdot d\overrightarrow{\mathbf{L}}=\int_A^C\overrightarrow{\mathbf{E}}_i\cdot d\overrightarrow{\mathbf{L}}+ \int_D^E\overrightarrow{\mathbf{E}}_i\cdot d\overrightarrow{\mathbf{L}}}}$

visto che sugli altri lati la forza è nulla.

Sostituiamo E_i

$\displaystyle{\mathbf{f_i =\int_A^C(\overrightarrow{\mathbf{v}}\times\overrightarrow{\mathbf{B}})\cdot d\overrightarrow{\mathbf{L}}+\int_D^E(\overrightarrow{\mathbf{v}}\times\overrightarrow{\mathbf{B}})\cdot d\overrightarrow{\mathbf{L}}}}$

Scegliamo un verso di percorrenza sulla spira. Il campo B₁sul lato AC è maggiore di B₂presente sul lato ED (è diversa la distanza dal filo che genera il campo).

$\displaystyle{\mathbf{f_i=(\overrightarrow{\mathbf{v}}\times\overrightarrow{\mathbf{B}}_1)\cdot\int_A^Cd\overrightarrow{\mathbf{L}}+(\overrightarrow{\mathbf{v}}\times\overrightarrow{\mathbf{B}}_2)\cdot\int_D^Ed\overrightarrow{\mathbf{L}}}}$

V × B è un vettore diretto come dL , solo che V × B₁ha il verso uguale a quello scelto come positivo sulla spira, mentre V × B2 ha verso opposto.

I prodotti vettoriali li abbiamo portati fuori dall’integrale perchè non dipendono dalla variabile di integrazione.

$\displaystyle{\mathbf{f_i=vB_1L-vB_2L=vL(B_1-B_2)}}$

Andiamo a calcolare la variazione del flusso concatenato con la spira tra due istanti t e t+dt.

$\displaystyle{\mathbf{d\Phi(B)=B_2dS-B_1dS=B_2Lds-B_1Lds}}$

dS è la superficie spazzata nel tempo dt, ds è lo spazio percorso sempre nel tempo dt. Poniamo

$\displaystyle{\mathbf{ds=vdt}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{d\Phi(B)=(B_2-B_1)Lvdt=-(B_1-B_2)Lvdt}}$

Se confrontiamo questa con l’espressione della f.e.m indotta abbiamo

$\displaystyle{\mathbf{f_i=-\frac{d\Phi(B)}{dt}}}$

Possiamo allora dire che, nel caso di movimento del circuito (la spira) la f.e.m. indotta è spiegabile tramite la forza di Lorentz. Nel circuito risulta un campo indotto che non è conservativo.

Passiamo al caso in cui è la sorgente del campo magnetico induttore a spostarsi con velocità V. In questo caso, essendo, per il circuito, essendo V = 0 non c’è la forza di Lorentz. La spiegazione del fenomeno dell’induzione elettromagnetica è data dalla relatività. Utilizziamo il concetto di moto relativo. La sorgente nella terna xyz e la spira nella terna x’y’z’

Come sorgente del campo abbiamo messo una spira, quella in rosso. Il circuito è la spira in blu.

Per un osservatore solidale con la sorgente, quindi in xyz, il campo b è costante nel tempo, ma è non uniforme nello spazio. Per esso, a muoversi con velocità V, è il circuito. Se la spira blu si sposta con velocità V si genera una f.e.m. indotta.

$\displaystyle{\mathbf{f_i=-\frac{d\Phi(\overrightarrow{\mathbf{B}})}{dt}}}$

Per un osservatore solidale con il circuito, quindi nel sistema x’y’z’, è la sorgente a muoversi con velocità -V,mentre il circuito indotto è fermo.

Il campo elettrico che si genera nel circuito, che indichiamo con E^*è generato assieme ad un campo B^*dalla sorgente per il fatto che si sta muovendo rispetto al sistema x’y’z’. La f.e.m indotta nel circuito sarà

$\displaystyle{\mathbf{f^*_i=-\frac{d\Phi(\overrightarrow{\mathbf{B}}^*)}{dt}}}$

Diciamo, semplicemente, che per velocità v<<c B^*coincide con B.

Il campo E^*è un campo effettivo e sempre non conservativo visto che la sua circuitazione è ≠ 0.

Diamo anche uno sguardo al caso di sorgente del campo magnetico e circuito indotto entrambi fermi. Il flusso concatenato con la spira può variare se varia la corrente nel circuito della sorgente.

Ci si può ricondurre al caso nel quale la sorgente si muove e il circuito indotto è fermo. Possiamo pensare che la velocità -V, con la quale si muove la sorgente, sia tale da determinare una variazione del flusso concatenato con il circuito indotto pari a quello dovuto alla variazione di corrente. Si presenta così la stessa f.e.m. indotta.

Finalmente, per concludere :

Una forza elettromotrice indotta si genera in un circuito tutte le volte che varia il flusso concatenato con esso. Questo accade qualunque sia la causa che provoca la variazione del flusso concatenato.

$\displaystyle{\mathbf{f_i =\oint \overrightarrow{\mathbf{E}}_i\cdot d\overrightarrow{\mathbf{L}}=-\frac{d}{dt}\Phi(\overrightarrow{\mathbf{B}})=-\frac{d}{dt}\int_S\overrightarrow{\mathbf{B}}\cdot\hat{n}\, dS}}$

S è la superficie che ha come bordo la linea del circuito, n è la normale a S ed è legata al verso positivo di percorrenza della linea secondo la regola della mano destra.

Basta con l’approfondimento sull’induzione elettromagnetica.