Esercizi 7 e 8 Cinematica

Esercizio 7

Una metropolitana accelera partendo da una stazione ad un ritmo di 1,2m/s² per meta’ della distanza che lo separa dalla stazione successiva, quindi decelera nello stesso modo nella seconda meta’. Le due stazioni distano 1100 m. Calcolare:

-La durata del percorso

-La velocita’ massima

Iniziamo col farci un disegno del problema

Abbiamo posto l’origine nella stazione di partenza, nei primi 550m la metropolitana accelera con a = 1,2m/s², nei secondi 550m decelera con a = -1,2m/s².

Consideriamo il primo tratto, sappiamo che la sua accelerazione e’ costante

a = a₀

Integrando troviamo la velocita’, visto che l’accelerazione e’ la derivata della velocita’

$\displaystyle{\mathbf{a = \frac{dv}{dt}\Longrightarrow dv = a dt \Longrightarrow \int_{v_0}^{v}\,dv = \int_{t_0}^{t} a \,dt}}$

Risolvendo e tenendo conto che V₀ = 0 perche’ la metropolitana parte da ferma, che t₀ = 0 perche’ abbiamo posto l’origine dei tempi alla partenza (queste magate vanno sempre fatte quando si puo’ perche’ ci semplificano molto i calcoli), abbiamo

V = a x t

Integrando ancora troviamo lo spazio

$\displaystyle{\mathbf{x = \frac{1}{2}at^2}}$

Da questa ci ricaviamo il tempo necessario a percorrere il primo tratto

$\displaystyle{\mathbf{t_1=\sqrt{\frac{2x}{a}}=\sqrt{\frac{2\times 550}{1,2}} = 30,27s}}$

La durata complessiva del percorso sara’ il doppio di quella appena trovata visto che l’accelerazione e’ uguale alla decelerazione e lo spazio pure

t = 2 x 30,27 = 60,54s

La velocita’ sara’ massima proprio dopo 550m,ossia dopo 30,27s, perche’ li’ inizia a rallentare, quindi

V_max = a x t = 1,2 x 30,27 = 36,32 m/s

Esercizio 8

Un’auto viaggia alla velocita’ di 90km/h su di una strada rettilinea quando ad un tratto vede un’interruzione a 90m. Subito frena e decelera al ritmo di a = -3,8 m/s². Riesce a fermarsi in tempo ?

Come prima cosa poniamo il nostro riferimento X = 0 e t = 0 nell’istante in cui inizia a frenare.

Sappiamo che decelera con a = cost

$\displaystyle{\mathbf{a=\frac{dv}{dt} \Longrightarrow dv=adt \Longrightarrow \int_{v_0}^{v}\,dv=-\int_{t_0}^{t}a\,dt \Longrightarrow v-v_0=-a(t-t_0)}}$ .

Dato che t₀ = 0, ma non V₀ !! La velocita’ iniziale c’e’ ed e’ quella che possiede l’auto quando inizia a frenare.

V = V₀ – at

Da questa equazione possiamo ricavarci dopo quanto tempo si ferma. Quale e’ la condizione da imporre affinche’ l’auto sia ferma ? L’auto si ferma quando si annulla la sua velocita’

V₀ – at = 0 da cui

$\displaystyle{\mathbf{t=\frac{v_0}{a}}}$ .

Attenzione, la velocita’ ci e’ data in km/h mentre l’accelerazione in m/s. Portiamo allora la velocita’ da km/h a m/s

$\displaystyle{\mathbf{90\frac{km}{h}=\frac{90}{3,6}=25\frac{m}{s}}}$ .

Ora possiamo calcolarci il tempo t

$\displaystyle{\mathbf{t=\frac{v_0}{a}=\frac{25}{3,8}=6,58s}}$ .

Quanto spazio percorre l’auto in 6,58s ? Dobbiamo trovere lo spazio, basta integrare la velocita’, infatti

$\displaystyle{\mathbf{v=\frac{dx}{dt}\Longrightarrow dx=vdt=(v_0-at)dt}}$

ora integrando e tenendo conto delle condizion iniziali troviamo

$\displaystyle{\mathbf{x=v_0 t -\frac{1}{2}at^2=25\times 6,58-\frac{1}{2}\times 3,8(6,58)^2=82,2m}}$

Si ferma in tempo.