Esercizio 2 Cinematica

Un’auto partendo da ferma raggiunge dopo 6 s la velocita’ di 100 km/h. Supponendo il moto uniformemente accelerato si calcoli l’accelerazione e lo spazio percorso per raggiungere i 100 km/h.

Partiamo da cio’ che sappiamo, ossia che l’accelerazione e’ costante

a = a₀

con il pedice ₀ indichiamo che la grandezza e’ costante. Da questa dobbiamo arrivare a trovare lo spazio. Sappiamo che l’accelerazione e’ la derivata rispetto al tempo della velocita’. Se hai problemi prima di proseguire vedi Accelerazione teoria

$\displaystyle{\mathbf{a = \frac{dv}{dt}}}$

da cui ricaviamo che

$\displaystyle{\mathbf{dv = a dt}}$

Integrando e ricordando che l’auto parte da ferma V₀ = 0, ponendo inoltre l’origine nel punto di partenza X₀ = 0

$\displaystyle{\mathbf{\int_{0}^{v}\,dv = \int_{0}^{t} a_0\,dt}}$

risolvendo i semplici integrali

V = a₀ t

Siamo passati dall’accelerazione alla velocita’ con una semplice integrazione, Per passare allo spazio percorso dobbiamo integrare ancora, infatti

$\displaystyle{\mathbf{v=\frac{dx}{dt}\Longrightarrow dx=vdt=a_0tdt}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{\int_{0}^{x}dx = \int_{0}^{t} a_0\,dt \Longrightarrow x= \frac{1}{2}a t^2}}$

Ricapitolando : siamo partiti dal dato che ci dice che l’accelerazione e’ costante, abbiamo trovato la velocita’ come integrale dell’accelerazione e infine integrando la velocita’ abbiamo trovato lo spazio.

V = a₀ t

X = 1/2 a₀ t²

Dalla prima relazione possiamo ricavarci l’accelerazione

$\displaystyle{\mathbf{a_0 = \frac{v}{t}}}$

Prima di inserire i dati dobbiamo fare attenzione perche’ la velocita’ e’ data in km/h mentre il tempo in secondi. Dobbiamo trasformare da k/h a m/s la velocita’. Per farlo basta ricordare che 1 km = 1000 m e che 1 h = 60 minuti = 60 x 60 = 3600 s

$\displaystyle{\mathbf{\frac{1 km}{1 h} = \frac{1000 m}{3600 s} = \frac{1}{3,6} m/s}}$

Quindi per passare da km/h a m/s basta dividere per 3,6. Ovviamente per passare da m/s a km/h dobbiamo moltiplicare per 3,6.

$\displaystyle{\mathbf{100 \frac{km}{h} = \frac{100}{3,6}\frac{m}{s} = 27,28 m/s}}$

Finalmente possiamo calcolarci l’accelerazione

$\displaystyle{\mathbf{a = \frac{27,28}{6} = 4,54 m/s^2}}$

Rimane da calcolare lo spazio percorso

$\displaystyle{\mathbf{x = \frac{1}{2} a_0 t^2 = \frac{1}{2}4,54 \times6^2 = 81,72 m}}$