Esercizi sistemi e corpo rigido

Esercizi sistemi e corpo rigido.

Gli esercizi su sistemi e corpo rigido sono fondamentali.

Esercizio 1

Una molla di massa trascurabile è mantenuta compressa tra due blocchi di massa m₁ = 1 kg e m₂ = 2 kg tramite un filo di massa trascurabile ed avente gli estremi fissati ad m₁ e m₂ . Il sistema è in quiete, appoggiato sopra una superficie orizzontale priva di attrito. Il filo viene tagliato e la molla cade sulla superficie dopo che si è allungata. La massa m₂ acquista una velocità V₂= 0,5 m/s. Calcolare l’energia ceduta dalla molla al sistema.

Questo è il nostro sistema, formato dalle due masse e dalla molla.

Prima che venga tagliato il filo il sistema è fermo.

Appena viene tagliato l’energia elastica della molla compressa lancia le masse in direzione opposta. L’energia della molla si trasforma in energia cinetica delle masse.

$\displaystyle{\mathbf{E_{molla}=\frac{1}{2}m_1v_1^2+\frac{1}{2}m_2v_2^2}}$

Abbiamo bisogno di un’altra relazione perchè le incognite sono due. Dato che lungo l’asse x non ci sono forze esterne che agiscono, si conserva la quantità di moto del sistema. Ricordiamo che sono solo le forze esterne al sistema che causano variazione della quantità di moto, o meglio l’impulso delle forze esterne. Vediamo perchè.

Perun sistema il secondo principio lo esprimiamo come

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{F}_{tot}^{est}=m_{tot}\overrightarrow{a}_c}}$

La risultante delle forze esterne applicate provoca l’accelerazione del centro di massa del sistema. L’accelerazione è la derivata della velocità.

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{F}_{tot}^{est}=m_{tot}\frac{d\overrightarrow{v}_c}{dt}}}$

La massa è costante, quindi la posso portare dentro la derivata, non cambia nulla.

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{F}_{tot}^{est}=\frac{d(m_{tot}\overrightarrow{v}_c)}{dt}}}$

Il prodotto della massa totale per la velocità del centro di massa è la quantità di moto del sistema.

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{F}_{tot}^{est}=\frac{d\overrightarrow{p}_{sis}}{dt}}}$

Ponendola come

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{F}_{tot}^{est}dt=d\overrightarrow{p}_{sis}}}$

e integrando

$\displaystyle{\mathbf{\int_{t_1}^{t_2}\overrightarrow{F}_{tot}^{est}\, dt=\int_{p_1}^{p_2}d\overrightarrow{p}_{sis}}}$

L’integrale della forza tra t₁ e t₂ non è altro che l’impulso

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{I}_{est}=\overrightarrow{p}_2-\overrightarrow{p}_1}}$

Se non c’è l’impulso, quindi , ad esempio, se non c’è la forza

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{I}_{est}=0\Longrightarrow \overrightarrow{p}_2-\overrightarrow{p}_1=0\Longrightarrow \overrightarrow{p}_2=\overrightarrow{p}_1}}$

Ossia si conserva la quantità di moto del sistema. Attenzione, non delle singole masse, ma del sistema.

Nel nostro caso sicuramente si conserva e dato che siamo lungo un asse non ci interessano i vettori. Vediamo quanto valgono p₁ e p₂

p₁ = 0 prima di tagliare il filo è tutto fermo

p₂ = m₁ v₁ + m₂ v₂ dopo le masse partono ognuna con la propria velocità

$\displaystyle{\mathbf{p_1=p_2\Longrightarrow m_1v_1+m_2v_2=0\Longrightarrow v_1=-\frac{m_2}{m_1}\, v_2=-1m/s}}$

Mettendo questo valore nell’equazione dell’energia scritta all’inizio si ha :

$\displaystyle{\mathbf{E_{molla}=\frac{1}{2}m_1v_1^2+\frac{1}{2}m_2v_2^2=0,75 J}}$

Esercizi di esame sistemi e corpo rigido

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