Oscillazioni libere in verticale

Ripetiamo lo studio di prima con la molla posta, questa volta, in verticale, ossia studiamo le oscillazioni libere in verticale.

Abbiamo posto l’asse Y rivolto verso il basso, questo solo per convenienza, un allungamento della molla corrisponde ad un y positivo.

Y = 0 e’ il nostro zero

La molla e’ a riposo.

Attacchiamo una massa alla nostra molla, questa si estendera’ per il nuovo peso, oscillera’ un po’ e alla fine trovera’ un nuovo equilibrio, quello che abbiamo indicato con Y_eq

La nuova posizione assunta dalla molla la troviamo imponendo la condizione di equilibrio P = F_el ossia :

M g = K ΔY = K(Y_eq – 0) = K Y_eq Da cui si ricava :

$\displaystyle{\mathbf{y_{eq}=\frac{Mg}{k}}}$ .

Notiamo che la massa M ha spostato l’equilibrio dal punto Y = 0 al punto Y = Y_eq = M g / k. Se ora la tiriamo, ossia la spostiamo da questo nuovo equilibrio, iniziano le oscillazioni e i problemi per noi.

La massa M inizia ad oscillare intorno alla posizione di equilibrio Y_eq e in assenza di attriti e resistenza dell’aria, rimane ad oscillare indefinitivamente. Piu’ avanti introdurremo anche gli attriti ed avremo le oscillazioni smorzate.

Applichiamo il secondo principio della dinamica alla nostra massa che oscilla

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{P}+\overrightarrow{F}_{el}=m\overrightarrow{a}}}$ .

Proiettiamo l’equazione vettoriale lungo l’asse Y

P + F_el = m a_y ora operiamo le sostituzioni P = mg e F_el = – KΔL = – K Y abbiamo chiamato Y l’allungamento della molla

m g – K Y = m a_y sostituiamo ad all’accelerazione la derivata seconda dello spazio Y

$\displaystyle{\mathbf{mg-ky=m\frac{d^2y}{dt^2}}}$ .

Visto che Y e’ una funzione del tempo, quella e’ un’equazione differenziale. Ce la scriviamo meglio

$\displaystyle{\mathbf{\frac{d^2y}{dt^2}+\frac{k}{m}y=g}}$ .

Facendo considerazioni analoghe al caso in orizzontale scopriamo che si tratta di un’equazione lineare, a coefficienti costanti, del secondo ordine, questa volta non omogenea. In questo caso la soluzione dell’equazione e’ formata da due termini di cui uno e’ la soluzione dell’equazione omogenea associata, ottenuta ponendo uguale a zero l’equazione e l’altra e’ l’integrale particolare.

Y(t) = Y_omo + Y_part

Iniziamo col cercare l’integrale particolare. Dato che g e’ costante, lo sara’ anche Y_part e l’equazione diventa

$\displaystyle{\mathbf{0+\frac{k}{m}\hspace{0,1cm}y_{part}=g\Longrightarrow y_{part}=\frac{g\cdot m}{k}}}$ .

Cerchiamo ora Y_omo . Partiamo dall’equazione omogenea associata

$\displaystyle{\mathbf{\frac{d^2y}{dt^2}+\frac{k}{m}\, y\hspace{0,1cm}=0}}$ .

Sempre analogamente a quanto fatto nella lezione precedente troviamo l’equazione caratteristica associata

$\displaystyle{\mathbf{\alpha^2+\frac{k}{m}=0}}$ .

che e’ un’equazione di secondo grado le cui due soluzioni sono

$\displaystyle{\mathbf{\alpha_{1,2}=\pm\sqrt{-\frac{k}{m}}=\pm i\sqrt{\frac{k}{m}}=\pm i\omega_0}}$ .

E’ tutto uguale al caso in cui la massa era in piano, la soluzione che avevamo trovato va quindi bene anche per questo caso

Y(t) = C cos(ω₀t + Φ)

Alla fine Y(t) = Y_omo + Y_part diventa:

$\displaystyle{\mathbf{y(t)=\frac{m\cdot g}{k}+C\cos (\omega_0 t+\phi)=\frac{m\cdot g}{k}+C\cos \left (\sqrt{\frac{k}{m}}\, t\hspace{0,1cm}+\phi\right )}}$ .

La massa oscilla attorno alla posizione di equilibrio andando da mg / k + C a mg / k – C, ossia da

Y_eq + C a Y_eq – C

Prima di affrontare le oscillazioni smorzate dobbiamo studiare la resistenza del mezzo e le forze viscose.

Resistenza del mezzo e forze viscose