Teoremi sui triangoli qualunque

I teoremi sui triangoli qualunque ci permettono di calcolare l’area, le funzioni goniometriche degli angoli, i lati, ecc . . . di un triangolo che non sia equilatero o rettangolo o isoscele.

Un triangolo qualunque lo possiamo definire come un poligono con tre lati e tre angoli (o vertici).

Teorema dell’area

Consideriamo un triangolo qualunque

e disegniamo l’altezza AH. AHC è un triangolo rettangolo, possiamo scrivere

$\displaystyle{\mathbf{AH=AC\sin\gamma =a\sin\gamma}}$

L’area del triangolo (base × altezza / 2) sarà

$\displaystyle{\mathbf{S=\frac{BC\times AH}{2}=\frac{c\times AH}{2}=\frac{1}{2}\, c\, a\, \sin\gamma}}$

L’area di un triangolo è uguale al semiprodotto di due lati moltiplicato per il seno dell’angolo compreso tra di essi.

Quindi valgono anche le relazioni

$\displaystyle{\mathbf{S=\frac{1}{2}\, b\, c\,\sin\beta}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{S=\frac{1}{2}\, b\, a\,\sin\alpha}}$

Vediamo un esempio di applicazione di questo teorema.

Calcolare l’area del triangolo ABC conoscendo:

Triangolo qualunque AC = 10

BC = 25√3 /3

cosα = 1/2

tgβ =3/4

Ricaviamoci la relazione che da il seno in funzione della tangente

$\displaystyle{\mathbf{\tan\beta =\frac{\sin\beta}{\cos\beta}=\frac{\sin\beta}{\sqrt{1-\sin^2\beta}}}}$

Eleviamo tutto al quadrato

$\displaystyle{\mathbf{\tan^2\beta =\frac{\sin^2\beta}{1-\sin^\beta}\Longrightarrow \sin^2\beta (\tan^2\beta +1)=\tan^2\beta}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{\sin^2\beta =\frac{\tan^2\beta}{1+\tan^2\beta}=\frac{9}{25}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{\sin\beta =\frac{3}{5}}}$

Valutiamo l’angolo γ

$\displaystyle{\mathbf{\gamma =\pi \, -\,\alpha\, -\beta =\pi-(\alpha+\beta)}}$

Possiamo trovare anche il senγ

$\displaystyle{\mathbf{\sin\gamma =\sin(\pi -(\alpha + \beta )=\sin (\alpha +\beta )=\sin\alpha\cos\beta +\cos\alpha\sin\beta}}$

senα lo calcoliamo dal cosα

$\displaystyle{\mathbf{\sin\alpha = \sqrt{1-\cos^2\alpha}=\frac{\sqrt{3}}{2}}}$

cosβ lo troviamo dal senβ

$\displaystyle{\mathbf{\cos\beta = \sqrt{1-\sin^2\beta}=\frac{4}{5}}}$

Quindi

$\displaystyle{\mathbf{\sin\gamma =\frac{\sqrt{3}}{2}\times \frac{4}{5}\, + \frac{1}{2}\times \frac{3}{5}=\frac{4\sqrt{3}+3}{10}}}$

Infine calcoliamo l’area

$\displaystyle{\mathbf{S=\frac{1}{2}\times \frac{10\times 25\sqrt{3}}{3}\times \Bigl (\frac{4\sqrt{3}+3}{10}\Bigr )=\frac{25\times (4+\sqrt{3})}{10}}}$

Teorema della corda

Consideriamo una circonferenza e una corda AB

Disegniamo anche il diametro AM.

Il triangolo ABM è rettangolo in B perché l’angolo in B è corrispondente all’angolo al centro (insistono sullo stesso arco). L’angolo in O è π e quello in B, essendo la metà è π/2.

Possiamo allora porre

$\displaystyle{\mathbf{AB=2r\sin\alpha}}$

Questo non è l’unico modo per calcolare la corda.

Prendiamo un punto K appartenente all’arco AB che non contiene M. L’angolo β è supplementare dell’angolo α, quindi

$\displaystyle{\mathbf{\sin\beta =\sin\alpha}}$

Risulta

$\displaystyle{\mathbf{AB=2r\sin\beta =2r\sin\alpha}}$

Ma non è tutto. Se prendiamo il punto K non appartenente all’arco AB che contiene M

l’angolo β, questa volta, è uguale all’angolo α perché sottendono lo stesso arco.

$\displaystyle{\mathbf{AB=2r\sin\alpha}}$

In conclusione

La lunghezza della corda di una circonferenza è pari al diametro moltiplicato per il seno di uno qualunque degli angoli alla circonferenza che insistono su uno dei due archi determinati dalla corda.

Facciamo un esempio su questo teorema

In una circonferenza di centro O e raggio R, la corda AB è lunga 4/5R . Calcolare le funzioni goniometriche dell’angolo convesso al centro.

Sappiamo che

$\displaystyle{\mathbf{AB=2R\sin\beta}}$

Da questa ricaviamo senβ

$\displaystyle{\mathbf{\sin\beta =\frac{AB}{2R}=\frac{2}{5}}}$

L’angolo β è la metà dell’angolo al centro

$\displaystyle{\mathbf{\cos\alpha =\cos (2\beta ) =1-\sin^2\beta =\frac{17}{25}}}$

Il senα lo ricaviamo dal cosα

$\displaystyle{\mathbf{\sin\alpha =\sqrt{1-\cos^2\alpha }=\frac{4\sqrt{21}}{5}}}$

Teorema dei seni

Preso un triangolo qualunque ABC

consideriamo la circonferenza circoscritta al triangolo e applichiamo ad ogni lato del triangolo il teorema della corda

$\displaystyle{\mathbf{a=2r\sin\alpha \qquad b=2r\sin\beta\qquad c=2r\sin\gamma }}$

Dove 2r è il diametro della circonferenza

$\displaystyle{\mathbf{\frac{a}{\sin\alpha}=2r \qquad \frac{b}{\sin\beta} =2r \qquad \frac{c}{\sin\gamma} =2r}}$

Ossia

$\displaystyle{\mathbf{\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta} =\frac{c}{\sin\gamma} =2r}}$

In un triangolo il rapporto tra la misura di ciascun lato e il seno dell’angolo ad esso opposto è uguale al diametro della circonferenza circoscritta.

Applichiamo il teorema con un esempio

Dato il triangolo ABC