Campo magnetico di una spira

La lezione campo magnetico di una spira è specifica per il liceo, lo stesso argomento per l’università lo trovi al link Campo magnetico generato da una spira.

Per realizzare una spira circolare possiamo prendere un filo rettilineo e avvolgerlo a formare una circonferenza. Una spira è un circuito chiuso che può avere una forma qualsiasi, quadrata, rettangolare, . .

Ora facciamo percorrere la spira da un corrente i. Essendo un filo percorso da corrente genererà un campo magnetico.

Vogliamo calcolare questo campo lungo l’asse della spira, ossia lungo la retta che passa per il suo centro.

Il campo magnetico di una spira è ben diverso da quello generato da un filo rettilineo, ora scopriamo perché.

La linea rossa è la nostra spira percorsa da corrente, la retta x è il suo asse.

P è il punto dell’asse nel quale vogliamo calcolare l’induzione magnetica B.

La spira è vista leggermente di lato, per questo appare un po’ schiacciata. Iniziamo considerando un pezzetto di spira, l’elemento dL. B è perpendicolare sia all’elementino dL che a r . x è la distanza del punto P dal centro della spira, r è la distanza di P dal nostro elemento sorgente del campo magnetico IdL. Infine l’angolo θ è quello tra r e x.

Nella figura abbiamo scritto dB, che potete considerare come ΔB se ancora non avete idea di cosa sia un elemento infinitesimo, esso indica il contributo all’induzione totale B dovuta al solo elemento ΔL.

Questo contributo ΔB al campo magnetico non è tutto efficace, infatti, consideriamo anche l’elemento dL’ opposto a dL , disegniamo il suo contributo ΔB’ e decomponiamo i due vettori ΔB e ΔB’ secondo le direzioni normale e perpendicolare all’asse x.

Le componenti perpendicolari risultano uguali ed opposte, quindi si annullano tra di loro. Sono soltanto le componenti lungo x che danno contributo al campo totale, infatti hanno stesso verso, quindi si sommano.

Per calcolare B rimane da valutare attentamente tutti gli angoli

L’angolo tra ΔB e r è π/2 visto che sono perpendicolari, quindi l’angolo tra ΔB e l’asse della spira sarà π – θ – π/2 = π/2-θ.

Andiamo a calcolare il contributo ΔBx

$\displaystyle{\mathbf{\Delta B_{x} =\Delta B\cos\Bigl (\frac{\pi }{2} - \theta \Bigr ) =\Delta B \sin\theta }}$

Ricordate le formule degli archi associati ?

Esprimiamo il senθ

$\displaystyle{\mathbf{r\sin\theta =R \Longrightarrow \sin\theta =\frac {R}{r}}}$

Lo sostituiamo

$\displaystyle{\mathbf{\Delta B_{x} =\Delta B \, \frac {R}{r}}}$

Esprimiamo ora il ΔB

$\displaystyle{\mathbf{\Delta B =\frac{\mu_0 \, i}{4\pi}\, \frac{\Delta L}{r^2}}}$

Questa relazione esprime l’induzione magnetica generata dal tratto di filo dL percorso dalla corrente i. Lo sostituiamo in ΔB_x

$\displaystyle{\mathbf{\Delta B_{x} = \frac{\mu_0 \, i}{4\pi}\, \frac{\Delta L}{r^2}\, \frac {R}{r}}}$

Per avere il campo totale basta sommare tutti i contributi ΔB_x

Tenendo conto che la somma di tutti i ΔL = 2πR , ossia la lunghezza della circonferenza

$\displaystyle{\mathbf{ B = \frac{\mu_0 \, i}{4\pi}\, \frac{2\pi R}{r^2}\, \frac {R}{r}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{ B = \frac{\mu_0 \, i}{2}\,\frac {R^2}{r^3}}}$ .

Esprimiamo anche r applicando il teorema di Pitagora

$\displaystyle{\mathbf{r=\sqrt{R^2+x^2}}}$

Il campo totale diventa

$\displaystyle{\mathbf{ B = \frac{\mu_0 \, i}{2}\,\frac {R^2}{(\sqrt{R^2+x^2})^3}}}$ .

Quanto vale l’induzione magnetica al centro della spira ? Basta porre, nella relazione di prima x = 0

$\displaystyle{\mathbf{ B = \frac{\mu_0 \, i}{2R}}}$

Questo è il campo magnetico di una spira nel suo centro.

Chi ha già studiato gli integrali può dare uno sguardo qui Campo magnetico generato da una spira .

Ricapitoliamo : il campo magnetico sull’asse della spira dipende dalla distanza x da essa, in particolare diminuisce se ci allontaniamo dalla sorgente del campo. Il valore massimo per B si ha quando x = 0, quindi nel centro della spira.

Questo è l’andamento del campo lungo l’asse.

Se studiamo il campo anche nelle zone a sinistra della spira, troviamo che le linee di campo sono sempre lungo x e sempre nella stessa direzione di prima.

Campo completo, a sinistra e a destra della spira, lungo l’asse.

Se lo studiamo tutto attorno alla spira

troviamo il campo completo generato dalla spira.